郭敦顒回
拱形有圆拱、抛物线拱与悬链线倒置拱（重力拱）等。拱形屋顶以悬链线倒置拱（重力拱）屋顶为最优，因为它的自重力的压力曲线在其重力拱线上，也就是在重力拱截面的中线（曲面的中线）上，可以做得较薄而坚固。
圆屋顶的顶为壳形，壳形有圆壳、抛物线形壳与重力拱线形壳（重力圆壳形）等。圆屋顶的壳形以重力拱线形壳为最佳，因为其自重力的压力曲线在其壳形截面的中线上，这是一项较深理论和复杂计算工作。
《重力拱形》与《重力圆壳形》的两种我都亲自建造过。
圆屋顶的灌注问题，应先确定那种壳形，确定厚度，再按壳形制作圆屋顶的内壳——内胎模，外壳按等厚的原则分层分段制作，然后分层灌注（水泥混凝土）。
在我1962年回老家到1968年以来一直住房困难，就想修建两间少花钱的房屋。而少花钱只能省在房顶上，所以从1965年以来，我就对拱形与壳形房顶的结构与力学原理进行了研究。我将这方面的研究成果于1973年写出了《重力拱形》与《重力圆壳形》两篇涉及数学力学应用与建筑方面的论文。1975我所建两间房屋的“重力拱形”房顶与“重力圆壳形”房顶所依据的数学与力学原理就是由上述两篇论文所给出的。
我写出了《重力拱形》与《重力圆壳形》两篇论文后，先后给数学研究所、力学研究所、建筑设计研究院、粮食部设计院寄去，希望给予评价，如认为有新的理论更希望在他们的刊物上进行发表。最后粮食部设计院给我回信指明了两个问题：“1，土圆仓的上顶是抛物线形的；
2、拱形的压力曲线应在其横截面内。”这两个问题很重要，但是他们（粮食部设计院）并没有看明白我的那两篇论文。那两篇论文所给出的《重力拱形》与《重力圆壳形》它们的自重力的重力拱线（即压力曲线）不仅在其图形的横截面内而且在其图形横截面的中线上，就是说它的压力曲线随其图形走向的变化而变化的，这样可使得图形（“重力拱形”或“重力圆壳形”）建造得很薄，从而可最大限度的节省材料。
当时我设计“重力拱形”与“重力圆壳形”时，还没系统地学习过高等数学，但是我却利用了“以直代曲”和极限的原理，将拱线分成很多等长的小段；反之，每一小段都可近似地视为是曲线的。因为是等长的，所以在等宽等厚等长的一个用材一致的拱段的重量应视为是相等的，于是拱形从拱顶向下向两端每增加一个单位拱长，都会引起其自重力压力方向的变化，根据静力学原理，于就形成了“重力拱线”（这是我给予的命名，就是重力拱形的压力曲线），如前所述这个“重力拱线”是随“重力拱形”曲线的变化而变化的，就是说重力拱形曲线与其重力拱线——压力曲线是重合的。我当时所用的计算公式如下：
设拱的一个基本长度单位为c，则ci为第i段拱的拱长；拱顶点为A，拱一侧第n段拱端点为M（与另一侧是对称的），则拱一侧的拱长为AM，一般的第i段拱端点为Mi，其拱长记为AMi，底角为θi，即∠AiMiBi，拱过点Mi的切线即为AiMi。如下图——第i段拱的基础性图形所示；又设第n段拱的半拱跨度长为x，高为y。
Ai
ci bi
Mi? θi? ai? Bi
重力拱形第i段拱的基础性图
于是有
c=ci= AiMi=√（ai2+bi2） （G1）
tgθi=bi/ai=itgθ1 （G2.1）
tgθn=bn/an=ntgθ1 （G2.2）
ai=MiBi=cicosθi （G3）
bi= AiBi=cisinθi （G4）
x=Σi=1ncicosθi=Σi=1nai? （G5）
y=Σi=1ncisinθi=Σi=1nbi? （G6）
A⌒Mi=nc? （G7）
而“重力圆壳形”与“重力拱形”在设计上的力学基本原理是相同的，所不同之处“重力拱形”是每一段拱长都与基本单位拱长相等为基础，而“重力圆壳形”则是其圆壳的每一圆台侧面积都与基本单位圆面积相等为基础。“重力圆壳形”可看作是侧面相等圆台的连续衔接，且满足重力圆壳母线上任一点的切线与母线相一致，即是说重力圆壳自重力的压力曲线重合于其重力圆壳侧面的母线。
重力圆壳形在设计上所用的计算公式如下：
重力圆壳形上顶第一个基本单位圆壳形可看作是一个圆锥体的侧面，因其高H1很小，其侧面可近视地看作是一个平面圆，其半径为R1，其面积为s1，作为基本单位面积时可将下标去掉，其侧面母线记为l1，底角的初角记为θ1,于是有
s=s1=πR12=πR2? （Q1.1）
l1≈R1 ?（Q1.2）
tgθ1=b1/a1=H1/R1? （Q1.3）
Qi
li-1? hi-1?
hi
Mi-1 Ri-1 Oi-1
ci θi bi Ri Oi
Mi? ai Ai
重力圆壳形的第i阶轴截面基础性图
s1与tgθ1都是基础性单位，在实际运用上应采用适当小的数值，这取决于重力圆壳形设计的大小（半径跨度长为Rn，底角θn）与计算阶梯次数n的多少（一般的，200≤n≤1000可满足要求）。
从数学极限理论上来说应该是
lims1→0 limtgθ1→0 limn→∞
而半径跨度长Rn与底角θn则为设计的确定值。这里只是记载了实际应用的状况，并未对此问题进行更深入的理论研究。
则基本单位圆台的侧面积即为s，于是
s=si? i=1，2，3……，n （Q2）
如重力圆壳形的第i阶轴截面基础性图所示
hi=QiOi=hi-1+bi （Q3.1）
hi-1=QiOi-1? （Q3.2）
bi=Mi-1Ai=cisinθi （Q4）
Ri=MiOi=Ri-1+ai （Q5.1）
Ri-1=Mi-1Oi-1 ?（Q6）
ai=MiAi=cicosθi （Q7）
tgθi=bi/ai=itgθ1 （Q8）
li=QiMi=li-1+ci （Q9.1）
li-1=QiMi-1=Ri-1/cosθi? （Q10）
ci=Mi-1Mi=li-Ri-1/cosθi （Q11）
si=πR2=πRili-πRi-1li-1? （Q12.1）
R2=Rili-Ri-1li-1? （Q13.1）
Ri=licosθi （Q5.2）
Rili=li2cosθi （Q14.1）
Ri-1li-1=Ri-12/cosθi （Q14.2）
R2=li2cosθi-Ri-12/cosθi （Q13.2）
li2=(R2+Ri-12/cosθi)/cosθi? （Q9.2_1）
li2=R2/cosθi+Ri-12/cos2θi （Q9.2_2）
li=√[R2/cosθi+Ri-12/cos2θi]? （Q9.3）
又重力圆壳第n阶圆台的底面半径跨度长为Rn，圆壳高为Hn，圆壳母线长为Cn，圆壳总侧面积为Sn则有
ln=√[R2/cosθn+Rn-12/cos2θn] （Q15.1）
Rn=lncosθn? （Q15.2）
Hn=Σi=1ncisinθi=Σi=1nbi （Q15.3）
Cn=Σi=1nci （Q15.4）
tgθn=bn/an=ntgθ1 （Q15.5）
Sn=ns? （Q15.6）
我建造“重力圆壳形”房顶内胎模是由紫穗槐条子编成的（之前我摸索学会了条货的编制，编过篮子、囤、扒等家具），外面涂薄薄的一层沙灰浆，抹光洁坚固后成为内胎模。建成后胎模未拆除。
及至到1978年以后，我自学了高等数学（四川大学物理系用教材为主，兼有其它教材），回头察看“重力拱形”的重力拱线——压力曲线，竟然是悬链线的倒置。不是吗？悬链线的力学性质是均匀悬链自然下垂所产生的拉力曲线，它与其悬链线的走向是一致的更准确地说是重合的；悬链线倒置后形成的则是拱线，它的力是压力，就形成了——压力曲线——重力拱线，于是它形成的拱线与其压力曲线则是重合的。
y
N? P（x，y）
A?
O? M? x
悬链线图
悬链线方程：
AO=a （X1）
Y=a（ex/a+e-x/a）/2 （X2.1）
Y=ach（x/a） （X2.2）
A⌒P=a（ex/a-e-x/a）/2 （X3.1）
A⌒P=ash（x/a）? （X3.2）
1975年我建的“重力拱形”房顶与“重力圆壳形”房顶的两间房屋，就是在敦校家失火烧毁的两间房的废墟上建造的，是为了省钱为了解决我住房的困难也是为了科学实验而建造的。1979年我们又回到了我们的老家时，将那两间实验房就无偿交给敦校家了。他家困难，就在那两间房里一直住到2009年，到上级给他们家批下了救济款盖了三间房。为建那三间房挪出地基，随将“重力拱形”房顶的那间拆除，而“重力圆壳形”房顶的那间至今仍完好如初。
——摘自《郭敦顒自传》
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