观察：1•2•3•4+1=52，2•3•4•5+1=112，3•4•5•6+1=19

题目内容：

观察：

1、•2•3•4+1=5²，

2•3•4•5+1=11²，

3•4•5•6+1=19²，

…

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算2000•2001•2002•2003+1的结果（用一个最简式子表示）．

正确答案：

（1）对于自然数n，有n（n+1）（n+2）（n+3）+1

=（n²+3n）（n²+3n+2）+1

=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1

=（n²+3n+1）²．

即n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²；

（2）由（1）得，2000×2001×2002×2003+1=（2000×2003+1）²=4006001²．

考点核心：

探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。

（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律； （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。