探索研究（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项

题目内容：

探索研究

（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₁₈=______，a_n=______；

（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰①

将①式两边同乘以3，得______②

由②减去①式，得S=______．

（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a_n=______（用含a₁，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么a₁+a₂+a₃+…+a_n=______（用含a₁，q，n的代数式表示）．

正确答案：

（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，

∴a₁₈=2¹⁸，a_n=2ⁿ；

（2）令s=1+3+3²+3³+…+3²⁰

3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹

3S-S=3²¹-1

S=12(321-1)；

（3）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，

∴a_n=a₁q^n-1，

∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ①

∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ ②

②-①得：S_n=a1(qn-1)q-1．

故答案为：

22¹⁸、2ⁿ；

3、+3²+3³+3⁴+…+3²¹、12(321-1)；a₁q^n-1、a1(qn-1)q-1．

答案解析：

12

考点核心：

探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。

（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律； （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。