（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内

题目内容：

（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=324．

（1）求证：tgA•tgB=19；

（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求|MC||AB|的最大值．

正确答案：

证明：

（1）∵|z|2=[52sinA+B2]2+[cosA-B2]2=[324]2…（2分）

∴54•1-cos(A+B)2+1+cos(A-B)2=98，

整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，

∴9sinA•sinB=cosA•cosB，

∴tgA•tgB=19…（5分）

（2）tgC=-tg(A+B)=-98(tgA+tgB)≤-94tgA•tgB=-34，

当且仅当tgA=tgB=13时，tgC最大，即∠C最大…（8分）

设|AB|=2a，

∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，

∴M在以A，B为焦点的椭圆上，椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为3a，…（10分）

以直线AB为x轴，AB中点为原点，建立坐标系，

设椭圆方程为x24a2+y23a2=1，M(x，y)则|MC|2|AB|2=x2+(y-a3)24a2=-y212a2-y6a+3736=-112a2(y+a)2+109(-3a≤y≤3a)

所以，当y=-a时，(|MC||AB|)max=103…（13分）

考点核心：

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。