已知3维列向量α、β满足则：（）。

已知3维列向量α、β满足则：（）。

A 、β是A的属于特征值0的特征向量

B 、α是A的属于特征值0的特征向量

C 、β是A的属于特征值3的特征向量

D 、α是A的属于特征值3的特征向量

参考答案

【正确答案：C】

由特征值、特征向量的定义，β是A的属于特征值3的特征向量。

线性代数 已知3维列向量α，β 满足α^Tβ=2 α^T是α的转置 则矩阵βα^T的非零特征值为

这是秩1阵的特点，或者说秩一阵都可以写成这种样子的。证明：A=βα^T，则r(A)<=min {r(β)， r(α^T)}＝1，又显然β和α^T都不是零，否则α^Tβ＝0而不是2了。于是A不是零，故r(A)>=1。综上，r(A)＝1。由于r(A)＝1，故A的非零特征值最多有一个，而Aβ＝βα^Tβ＝β(α^Tβ)＝2β，故2是特征值，对应的特征向量是βps有兴趣的话，可以自己证明一下秩一阵能写成这种形式。

3维单位列向量α,β满足α^Tβ=0,A=αα^T-ββ^T,则A的三个特征值

因为α,β正交,长度为1所以Aα=(αα^T-ββ^T)α=αα^Tα-ββ^Tα=α同样有Aβ=β所以1是A的特征值,α,β是A的属于特征值1的线性无关的特征向量所以1至少是A的二重特征值又因为r(A)=r(αα^T-ββ^T)<=r(αα^T)+r(ββ^T)=2所以0是A的特征值所以A的三个特征值为1,1,0.