计算围成的立体，则正确的解法是：（）。
A 、
B 、
C 、
D 、
【正确答案：B】
解：∵z=x²+y²与z=x+y所围成的立体体积在xy平面上的投影是S：(x-1/2)²+(y-1/2)²=(1/√2)²
∴曲面所围成的立体体积=∫∫<S>[(x+y)-(x²+y²)]dxdy
=∫∫<S>[1/2-(x-1/2)²-(y-1/2)²]dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>(1/2-r²)rdr
(令x-1/2=rcosθ,y-1/2=rsinθ)
=2π∫<0,1/√2>(r/2-r³)dr
=2π(r²/4-r^4/4)│<0,1/√2>
=2π(1/8-1/16)
=π/8
1上面一个开口向下的抛物面和下面一个开口向上的抛物面围城的立体就像一个“扁球”一样（不一定恰当的比喻），这个“扁球”在平面的投影是一个圆盘，这个圆盘可以用这样的式子x^2＋y^2≤2
表示。
2当然可以不用极坐标求解了，你可以把它看成x型区域或y型区域来求解。这时这个体积看可以看成第一卦限体积的4倍，0≤ x≤√2 ，0≤ y≤√（2 -x^2）
V＝∫∫(D)[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy＝4∫(0～√2)dx∫(0～√（2-x^2）)[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dy＝4∫(0～√2)dx∫(0～√（2-x^2）)[6-3x^2-3y^2]dy=6π
不过这样积分比较麻烦！因为投影区域是园，所以用极坐标更方便！
所围成的体积＝∫∫∫dxdydz（V是z＝x＾2＋y＾2与z＝1所围成的空间区域）
＝∫dθ∫rdr∫dz（作柱面坐标变换）
＝2π∫r（1－r＾2）dr
＝2π（1／2－1／4）
＝π／2
扩展资料：
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
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