设α1，α2，α3, β为n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2,， α3，β线性无关，则下列结论中正确的是：（）。

设α1，α2，α3, β为n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2,， α3，β线性无关，则下列结论中正确的是：（）。

A 、β必可用α1， α2线性表示

B 、α1必可用α2，α3，β线性表示

C 、α1， α2， α3必线性无关

D 、α1，α2，α3必线性相关

参考答案

【正确答案：B】

因为α2，α3, β线性无关，所以α2， β线性无关，又因为α1，α2， β线性相关，所以α1必可用α2，β线性表示，则α1必可用α2，α3，β线性表示。主要考点：线性无关向量组的部分组一定线性无关， 线性相关组的扩大组必线性相关。

向量组线性相关问题

因为 a2,a3,b线性无关

所以 a2,b线性无关

又因为 a1,a2,b线性相关

所以 a1必可用a2,b线性表示

所以 a1必可用a2,a3,b线性表示

(C)正确.

（Ⅰ）设n维向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βt线性无关，且s+t＞n，证明：存在非零n维

解答：（Ⅰ）证：因s+t＞n，故n维向量组α1，α2，…αs，β1，β2，…βt必线性相关，即有不全

为零的数k1，k2，…，ks，l1，l2，…lt，使

          k1α1+k2α2+…+ksαs+l1β1+l2β2+…+ltβt=0，

于是必有n维向量ξ，使

          k1α1+k2α2+…+ktαt=ξ=-l1β1-l2β2-…-ltβt．

而且ξ≠0，否则，由α1，α2，…αt线性无关及β1，β2，…βt线性无关，可得k1=k2=

…=kt=0，l1=l2=…=lt=0与前设其不全为零矛盾．

（Ⅱ）解：因α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，而s+t=4＞n=2，由（Ⅰ）知，先求齐

次线性方程组（α1，α2，β1，β2）X=0的非零解即可．

      （α1，α2，β1，β2）═→

    k1（1，-2，1，0）T+k2（2，-3，0，1）T=（k1+2k2，-2k1-3k2，k1，k2）T

                     （k1，k2为不全为零的任意常数）

于是所求非零向量为

ξ=（k1+2k2）α1+（-2k1-3k2）α2=-k1β1-k2β2=（-3k1-4k2，-4k2-5k2）T

                  （k1，k2为不全为零的任意常数）