已知n阶可逆矩阵A的特征值为λo，则矩阵的特征值是：（）。
A、2/λo
B、λo/2
C、1/2λo
D、2λo
【正确答案：C】
根据特征值的性质，的特征值即为1/2λo。
矩阵的特征值等于逆矩阵特征值的倒数，反过来也一样。
设λ是A的特征值, α是A的属于特征值λ的特征向量
则Aα=λα.
若A可逆, 则λ≠0.
等式两边左乘A^-1, 得
α=λA^-1α.
所以有
A^-1α=(1/λ)α
所以 (1/λ)是A^-1的特征值, α是A^-1的属于特征值1/λ的特征向量.
所以互逆矩阵的特征值互为倒数.
因为λ是A的特征值所以有特征向量α 满足 Aα = λα等式两边左乘A^-1 得 α = λA^-1α由于可逆矩阵的特征值不等于0所以有 A^-1α = (1/λ)α故 1/λ 是 A^-1 的特征值
由于A可逆，因此|A|≠0
∴||A|E?λ0A*|=
| |A|?||A|E?λ0A*| |
| |A| |
| 1 |
| |A| |
而AA*=|A|E，因此
||A|E?λ0A*|=
| |A|n |
| |A| |
又A的特征多项式为|λE-A|，且已知λ0是n阶可逆矩阵A的一个特征值
∴|λ0E-A|=0
∴||A|E?λ0A*|=0
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