已知微分方程y'+p (x) y=q (x) (q (x) ≠0) 有两个不同的特解y1 (x) ，y2 (x) ，C为任意常数，则该微分方程的通解是：（）。

已知微分方程y'+p (x) y=q (x) (q (x) ≠0) 有两个不同的特解y1 (x) ，y2 (x) ，C为任意常数，则该微分方程的通解是：（）。

A 、y=C (y1-y2)

B 、y=C (y1+y2)

C 、y=y1+C (y1+y2)

D 、y=y1+C (y1-y2)

参考答案

【正确答案：D】

由题意得： y1-y2是齐次微分方程，y'+p (x) y=0的解，所以齐次微分方程y'+p (x) y=0的通解为C (y1-y2) ，则非齐次微分方 程的解是选项D。主要考点： 一阶线性微分方程dy/dx+p (x) y=Q (x) 解得求法。

特解求通解；已知微分方程 y'+P(X)y=Q(x)的两个特解为y1=2x和y2=cosx,则该微分方程的通解是什么？

要根据解的规律求解

首先算通解

y1'+py1 =q

y2' +py2' =q

两个方程减得到

(y1-y2)' +p(y1-y2) =0

所以方程y'+py=0的一个解为y1-y2=2x-cosx,通解为c(2x-cosx)

所以y'+py =q的通解为2x +c(2x-cosx)

微分方程y'+P(x)y=Q(x)的两个特解是y1=2x,y2=cosx,如何求该微分方程的通解

因为y'+P(x)y=Q(x)的两个特解是y1=2x,y2=cosx,

所以

y1-y2=2x-cosx是方程y'+P(x)y=0的一个特解，而该方程是一阶的，所以

方程y'+P(x)y=0的通解为Y=c*(2x-cosx)

从而

y'+P(x)y=Q(x)的通解为：y=c*(2x-cosx)+2x

y'+p(x)y=q(x)的通解是什么？

如下：

解：先算对应的齐次方程的解。

y'+P(x)y=0

y'/y=-P(x)

lny=-∫P(x)dx+C

y=ke^(-∫P(x)dx)

下面用常数变易法求解原方程的解。

设k为u(x)

y=u(x)e^(-∫P(x)dx)

y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

代入得：

Q(x)

=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C

y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。

线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。 微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。