设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为线性无关的充分必要条件是（　　）。

设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为线性无关的充分必要条件是（）。

A 、

B 、

C 、

D 、

参考答案

【正确答案：B】

设λ1 λ2 是矩阵A的两个不同特征值,对应的特征向量分别为α1 α2

选A，要使其线性无关。设k1α1+k2*A(α1+α2)=0，k1,k2只有为0时才能试等式成立。对于k1α1+k2*(λ1α1+λ2α2)=0两边同乘α1，则有k1*α1^2+k2λ1*α1^2+0=0(因为λ1、λ2是矩阵A的两个不同特征值，有α1*α2=0）则有(k1+k2λ1)α1^2=0，要使式子恒为0，则只有(k1+k2λ1)=0，又因为要线性无关，所以λ1=0，才能使k1恒为0，k1和k2的值也不会随λ1值变化。继而我们验证当λ1=0时，k1α1+k2*(λ1α1+λ2α2)=0就变为k1α1+k2*λ2α2=0，因为α1和α2不可能对应成比例（α1*α2=0），即k1/k2=-λ2α2/α1,，所以只有k1=0和k2=0时使等式成立。因为λ1为一个常量，若λ1不为0，那么k1=-λ1k2，此时k2是一个不确定值，因而只有令常量为0，使得这个式子恒成立。

设入1入2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量分别为a1a2,则证明a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件

设 k1a1+k2A(a1+a2)=0

则 k1a1+k2λ1a1+k2λ2a2=0

即 (k1+k2λ1)a1+k2λ2a2=0

由于属于不同特征值的特征向量线性无关

所以 k1+k2λ1=0

k2λ2=0

此齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是λ2≠0

即有 a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是λ2≠0