图4-3-9为某环节的对数幅值随频率的变化渐近线（图中dec表示10倍频程），在下列频率特性中哪项和图4.3-6相符合？（　　）[2008年真题]图4-3-9

图4-3-9为某环节的对数幅值随频率的变化渐近线（图中dec表示10倍频程），在下列频率特性中哪项和图4.3-6相符合？（）[2008年真题]图4-3-9

A 、

B 、

C 、

D 、

参考答案

【正确答案：A】

根据题目绘制图4-3-10。 图4-3-10

伯德图dec是什么意思

意思如下。

一般对数坐标图由两部分组成：一张是对数幅频特性图，它的纵坐标为，单位是分贝，用符号dB表示。通常为了书写方便，把用符号表示。另一张是相频图。两张图的纵坐标都是按线性分度，单位分别为dB和，横坐标是角频率。

为了更好地体现开环系统各频段的特性，可对横坐标采用的对数坐标分度，从而形成了半对数坐标系。这对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以对数分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图(Bode图)

200分求根据伯德图求传递函数

5.3.1 典型环节的伯德图

1．比例环节

比例环节K的对数幅频特性是一高度为 dB的水平线，它的相角为零度，如图5－18所示。改变开环频率特性表达式中K的大小，会使对数幅频特性升高或降低一个常量，但不影响相角的大小。

（5－37）

图5-18 比例环节K的对数幅频特性

显然，当 时， 位于横轴上方；当 时， 位于横轴上；当 时， 位于横轴下方。

2．一阶环节

一阶环节 的对数幅频和相频表达式分别为

（5－38）

（5－39）

其中 。

当 时，略去式（5－38）中的 项，则得 ，这表示 的低频渐近线是高度为0dB的一条水平线。

当 时，略去式（5－38）中的1，则得 ，表示 高频部分的渐近线是一条斜率为－20dB/dec的直线，当输入信号的频率每增加十倍频程时，对应输出信号的幅值便下降20dB。图5－19所示的是精确对数幅频特性及其渐近线和精确的相频曲线，其中T＝1，Matlab命令如下：

G=tf(1,[1,1])

[x0,y0,w]=bode(g),[x,y]=bode_asymp(g,w)

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0()),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0())

不难看出，两条渐近线相交点的频率 ，这个频率称为转折频率，又名转角频率。如果 环节的对数幅频特性能用其两条渐近线似表示，则使作图大为简化。问题是，这种近似表示所产生的误差有多大？

图5-19 一阶惯性环节频率特性

由图5－19可见，最大的幅值误差产生在转折频率 处，它近似等于－3dB。这是因为

用同样的方法，可计算其它频率点上的幅值误差。图5－20为 环节精确的对数幅频曲线与其渐近线在不同 值时的误差曲线。

由于渐近线易于绘制，且与精确曲线之间的误差较小，所以在初步设计时， 环节的对数幅频曲线可用其渐近线表示。如果需要绘制其精确的对数幅频曲线，可按照图5－20修正。

图5－19所示的对数幅频特性表明该环节具有低通滤波器的特性。如果系统的输入信号中含有多种频率的谐波分量，那么在稳态时，系统的输出只能复现输入信号中的低频分量，其它高频分量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越高的信号，其幅值的衰减量也越大。

由于 与 互为倒数，因而它们的对数幅频和相频特性只相差一个符号，即有

与获取一阶惯性环节频率特性相似，同样方法可绘制 环节的对数幅频和相频曲线如图5－21。

3．积分、微分环节

的对数幅频和相频特性的表达式分别为

由于

（5－40）

因而 是一条斜率为-20 dB/dec的直线。

同理， 的对数幅值表达式为

图5－22a 一阶积分环节频率特性 图5－22b 一阶微分环节频率特性

显然，它是一条斜率为＋20 dB/dec的直线。 环节的相角恒为 。图5－22a和5 －22b分别为 和 的对数幅频和相频曲线。在Matlab中，它们的绘制方法与一阶惯性环节完成相似，仅需修改传递函数即可。

由图5－22可见， 和 伯德图的差异是两者幅频特性的斜率和相角都相差一个符号。在 时，它们的对数幅值都为0dB。如果传递函数中含有 个积分环节，即 ，则它的对数幅频和相频表达式可分别写成

（5－41）

（5－42）

式（5－41）所示的是一簇斜率为 的直线，且在 处， ，如图5－23所示。由式（5－41）求得，这些不同斜率的直线通过0dB直线的频率为 。图5－23给出了 ，1，2和3时的对数幅频特性曲线，其中K＝1000。

4． 二阶环节

当系统的开环传递函数中含有一对共轭极点时，就有下列形式的二阶环节存在，即

（5－43）

其中 。它的对数幅频特性为

（5－44）

当 时， 略去上式中的 和 项，则得

这表示 的低频渐近线为一条0dB的水平线。

当 时，略去式（5－44）中的1和 项，则得

上式表示 的高频渐近线为一斜率 的直线。不难看出，两条渐近线相交于 。 称为振荡环节的转折频率。基于实际的对数幅频特性既与频率 和 有关，又与阻尼比 有关，因而这种环节的对数幅频特性曲线一般不能用其渐近线近似表示，不然会引起较大的误差。图5－24为不同 值情况下的对数幅频曲线及其渐近线和相角曲线，它们之间的误差曲线如图5－25所示。由图可见， 值越小，对数幅频曲线的峰值就越大，它与渐近线之间的误差也就越大。

图5－24 二阶振荡环节的对数幅频特、渐近线和相角曲线

将式（5－43）的幅值表达式写为

（5－45）

令

（5－46）

显然，如在某一频率时， 有最小值，则 便有最大值。把式（5－46）改写为

（5－47）

下面针对不同的 值范围，讨论在什么条件下，式（5－44）会有峰值出现，这个峰值和相应的频率应如何计算。

（1） 时

从式（5－47）中看出，当 时， 有最小值，即 有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用 表示之。基于 值为 ，由式（5－45）求得 的峰值 为

（5－48）

图5－26 Mr与ξ的关系

与 间的关系曲线如图5－26所示。产生谐振峰值时的频率叫谐振频率，用 表示，它的值为

由上式可见，当 趋于零时， 就趋向于 。当 时， 总小于有阻尼自然频率 。

（2） 时

此时可将式（5－46）改写为

（5－49）

不难看出，由于 随着 的增大而增大，因而 随着 的增大而单调地减小。这意味着，当 时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会产生谐振。当 时， 有最小值，其值为期1，即 。

同样由式（5-43）可得到系统的相频特性表达式为

相角 是 和 的函数。当 时，相角等于 ；而 ，不管 值的大小，相角总是等于 。当 时，相角等于 。可以证明，相角曲线对 的弯曲点而言是斜对称的。

由于环节 与上述振荡环节的频率特性互为倒数关系，即以 轴为对称轴，因此它们的对数幅值和相角与上述的都只相差一个符号，参见图5－24，这时不再赘述。

视电阻率曲线特征

频率测深视电阻率曲线的绘制与前面讨论的大地电磁测深视电阻率曲线的绘制完全相同。大地电磁测深曲线属于波区电磁测深曲线。在人工源频率测深方法中，高频情况下为波区。在波区，人工源频率测深的所有电磁场分量定义的频率测深曲线变化的规律与大地电磁测深曲线的规律完全相同，这一重要的共同点是由它们的平面电磁波性质决定的。由于前面已经对大地电磁测深曲线做过分析，因此对频率测深曲线中波区部分不再细说。

随着频率的降低出现非波区。在频率测深曲线的这一频段上，视电阻率不仅是地电参数和频率的函数，还与收-发距大小、使用的场源(电偶极还是磁偶极源)类型、使用的测量装置类型、测量的电磁场分量密切相关。不同电磁场分量所定义的视电阻率曲线具有不同特征，曲线变得五花八门，较为复杂。下面主要分析目前应用最多的电偶极发射源(ABMN或AB-s赤道装置)在水平地层上的视电阻率理论曲线，其他可举一反三。

4.3.5.1 均匀大地的频率测深曲线

图4.3.7给出了均匀大地表面的频率测深视电阻率曲线。无论电场Ex(赤道装置)或磁场Hz确定的视电阻率左支渐近线，在λ1/r＜1(相当于收-发距大于6倍趋肤深度)时，均能给出均匀大地的真电阻率，这一段属波区。当λ1/r＞1时，随着频率的降低，视电阻率逐渐偏离均匀大地的真电阻率。当频率足够低时，此时地层波S1占主导，故场具有类似直流电场的性质。比较式(4.3.3)的第一式和式(4.3.4)第一式可以得到，对于赤道装置，近区的Ex正好是波区Ex的1/2，因此，对于电场视电阻率 曲线，随着频率的降低，在低频段出现ρω=ρ1/2的右支渐近线。同样，由于随频率降低，逐渐进入S区，感应电动势减小引起 下降，磁场Hz定义的视电阻率 曲线以63°26′角下降。

图4.3.7 在均匀大地表面上电偶极源频率测深曲线

4.3.5.2 水平二层断面的频率测深曲线

(1)G型断面

图4.3.8给出了ρ2→∞情况下不同收-发距的电场(Ex)和磁场(Hz)频率测深理论曲线。由图可见，在高频段均出现干涉性假极小值。对于电场曲线，随着频率降低， 曲线急剧上升之后经过不明显的极大值趋向S区的水平渐近线，其值等于相应极距直流视电阻率的一半。对于磁场 曲线，急剧上升后经过明显的极大值后以63°26′角下降，同样是由于频率的降低，感应电动势减小引起 下降。

由图4.3.8还可见，随着r的增加，有限收-发距的频率测深曲线趋向于波区曲线。在图上给出S线，实际上，该线是收-发距无穷大时波区二层曲线。应当注意，只有当r/h1≥3时，视电阻率才能明显反映二层断面曲线的特点。

图4.3.8 ρ2→∞时频率测深二层振幅理论曲线

a—电场曲线；b—磁场曲线

(2)D型断面

图4.3.9是ρ2→0时的水平二层断面频率测深曲线。在这种情况下，不仅没有特有的极小值，而且随着收-发距的增大曲线差异变小。对于电场曲线，当r/h1≥3时各条下降曲线基本全通过ρω/ρ1=1，λ1/h1=8的坐标原点；而对于磁场曲线，当r/h1＞4时各条下降渐近线亦通过上述坐标原点。利用这一性质可解释出第一层厚度h1。

图4.3.9 ρ2→0时频率测深二层振幅理论曲线

a—电场曲线；b—磁场曲线

4.3.5.3 水平三层断面的频率测深曲线

在四种类型的水平三层断面中，H型和K型断面是频率测深地质效果明显的地电断面。下面主要介绍这两种类型的地电断面。

(1)H型断面

H型断面是频率测深地质效果最明显的地电断面。图4.3.10给出了典型的H型断面频率测深视电阻率理论曲线。曲线上的数字为r/H，H=h1+h2。由图可见，在高频段不同收-发距的所有曲线均重合在一起，且经过ρω/ρ1=1，λ1/h1=8 理论坐标原点。这一部分实际上处于波区。这样，可进一步看出，在波区不管是磁场分量还是电场分量都遵循同一种规律，即曲线形态只依赖于地电断面参数，而与收-发距无关。曲线的主要区别在于反映二、三层电性界面的上升段以及右支水平渐近线。对于磁场定义的 曲线，尾支以63°26′下降，同样是由于随频率降低，感应电动势减小引起的。应该注意到，只有当r/H大于一定数值(例如≥3)时，视电阻率才能明显反映H型断面曲线的特点。

图4.3.10 H型断面频率测深振幅理论曲线

a—电场曲线；b—磁场曲线

如果我们对ρ3→∞情况下电场视电阻率曲线的右支渐近线，按不同的r值画出 曲线，则在双对数坐标系中将看到该线成为45°角的上升渐近线。这便充分证明了S区的电场规律与直流电场规律相同。

(2)K型断面

对于K型断面，频率测深的地质效果要差于H型断面，其曲线形态与收-发距的关系也比较复杂。现以电场Ex定义的K型断面 /ρ1曲线为例来说明。图4.3.11所示为有巨厚高阻中间层的K型断面的 曲线。从图中我们可以看到，该断面的μ2=64，v2=32，说明第二层的电阻率是第一层64倍，厚度为第一层32倍，但不同收-发距的视电阻率曲线均未出现反映第二层的水平渐近线。当r/H=2时，视电阻率曲线没有明显反映良导基底的曲线特点，且与G型曲线相似。只有当r/H≥5时，视电阻率曲线才能明显反映K型断面曲线的特点。

图4.3.11 有巨厚中间层的K型断面电场视电阻率振幅曲线

由于A型和Q型断面的频率测深曲线相对比较简单，这里就不一一讨论了。最后指出，理论研究表明电磁场的振幅和相位是可以转换的，即它们所内含的地质信息量是相同的。这便说明，相位测量不可能提供更多的地质信息。但是，相位曲线具有比振幅曲线变化较大的幅度，并且一级近似地，前者与后者之间有微分关系。故在一定地质条件下相位曲线更能显示出分辨能力高的特点。另外，频率测深曲线也存在等值问题，在实际工作中都应注意。