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建筑知识
如图3-4-3所示虹吸管，C点前的管长Z=15m，管径d=200mm，流速为v=2m／s，进口阻力系数ζl=1.0，转弯的阻力系数ζ2=0.2，沿程阻力系数λ=0.025，管顶C点的允许真空度hv=7
如图3-4-3所示虹吸管，C点前的管长Z=15m，管径d=200mm，流速为v=2m／s，进口阻力系数ζl=1.0，转弯的阻力系数ζ2=0.2，沿程阻力系数λ=0.025，管顶C点的允许真空度hv=7m，则最大允许安装高度为（）m。图3-4-3
A 、6.13
B 、6.17
C 、6.34
D 、6.56
【正确答案：B】
取上游液面和c点后断面列伯努利方程：，所以
物理期末复习
一、压强和液体的压强
1、压强
（1）压强的概念
物体单位面积上受到的压力叫做压强，压强是用来表示压力的作用效果的物理量，压力的作用效果不仅跟压力的大小有关，而且跟压力的作用面积有关。
（2）压强的计算公式
公式中符号的意义及单位：
p—压强—帕斯卡(Pa)；F—压力—牛顿(N)；S—受力面积—平方米(m2)。其中1Pa=1N/m2。
（3）压强公式在计算中的应用
压强公式 不仅可以用来计算压强的大小，其变形公式F=pS及 还可用来计算压力和受力面的大小。
2、怎样增大或减小压强
（1）增大压强的方法：
在受力面积一定时，增大压力或在压力一定时，减小受力面积或同时增大压力、减小受力面积。
（2）减小压强的方法：
在受力面积一定时，减小压力或在压力一定时，增大受力面积或同时减小压力、增大受力面积。
3、液体压强的特点
液体内部朝各个方向都有压强；在同一深度，各方向压强相等；深度增大，液体的压强也增大；液体的压强还与液体的密度有关，在深度相同时，液体密度越大，压强越大。
4、连通器
（1）连通器：上端开口、下端连通的容器叫连通器。连通器可以由两个容器组成，也可以由多个容器组成。
（2）连通器的特点：连通器里的水不流动时，各容器中的水面高度总是相同的。
（3）连通器的应用：水壶的壶身与壶嘴、锅炉的炉身与外面的水位计组成的都是连通器，这类设备正是利用连通器的特点来设计制造的。世界上最大的人造连通器是我国的三峡船闸。
二、大气压强 飞机为什么能上天
1、大气压的存在及利用
地球周围的空气层又叫大气层，空气内部向各个方向都有压强。大气对浸在它里面的物体的压强叫做大气压强，简称大气压或气压，我们用自来水笔吸墨水、抽水机将水从低处抽到高处，甚至我们用吸管饮料等都是利用大气压的例子。
2、大气压的测量及标准大气压
（1）大气压的测量：大气压的值最早是由托利拆利利用水银测出的，因此托里拆利测大气压的这个实验通常又叫托里拆利实验，如左下图所示，此外，大气压还可以用如右下图所示的金属盒气压计测出。
（2）标准大气压：托里拆利实验中，玻璃管的水银柱的高度约为760mm，它是由大气压支持着的，通常把这样大小的大气压叫做1标准大气压，1标准大气压的值约为1.013×105Pa。
3、气体压强与流速的关系
在气体（或液体）中，流速越大的位置压强越小；流速越小的地方压强越大。当物体受到来自两侧不同的压强时，便受到力的作用。
4、飞机的升力
飞机飞行时产生的升力是用来克服自身的重力的，飞机的升力产生于机翼，如图所示的是机翼的切面图，迎面吹来的风分别流经上下两个表面，上表面气流通过的距离长，流速大；下表面气流通过的距离短，流速小。这样机翼受到的向上的压强就大于向下的压强，形成压力差，产生升力。
三、浮力
1．阿基米德原理
（1）什么是浮力
液体对浸在其中的物体，具有竖直向上的托力的作用，这个作用叫做浮力。 浮力的施力物体——所浸入的液体。 浮力的受力物体——被浸入的物体。 浮力的方向——竖直向上。
（2）用弹簧测力计测浮力 如图所示，此时小石块所受的浮力等于先后两次弹簧测力计的读数差，即 F浮=F－F′=G－F′。
（3）阿基米德原理 实验表明：浸在液体里的物体受到竖直向上的浮力，浮力的大小等于被物体排开的液体受到的重力的大小，即：F浮=G排=m排·g=ρ液·g·V排 式中ρ液为所浸入的液体的密度，单位 kg/m3；V排为物体排开液体的体积，也就是物体浸在液体中的体积，单位m3；g=9.8N/kg，粗略计算可取10N/kg。
（4）气体的浮力气体与液体一样，对浸在其中的物体也具有浮力的作用。实验证明，阿基米德原理对气体同样适用，即：浸在气体里的物体受到竖直向上的浮力，浮力的大小等于被物体排开的气体受到的重力的大小。
2、物体浮沉的条件
（1）物体受到的浮力F浮大于物重G时，物体就会上浮。
（2）物体受到的浮力F浮小于物重G时，物体就会下沉。
（3）物体受到的浮力F浮等于物重G时，物体或呈悬浮状态，或呈漂浮状态。
3、物体浮沉条件的应用
（1）密度计是利用物体浮在液面的条件而工作的,用密度计测量液体密度时,它所受到的浮力总等于它受到的重力。由于一个密度计制作好了后它的重力就确定了,所以它在不同液体中漂浮时所受到的浮力都相同,根据F浮=ρ液gV排可知：待测液体密度越大,则V排越小,密度计浸入液体中的体积越小，露出部分的体积就越大，反之，待测液体密度越小,则V排越大，密度计浸入液体中的体积越大，露出部分的体积就越小。所以密度计上的刻度值是“上小下大”。
（2）潜水艇依靠进水、排水来改变自身重力从而实现其下潜、上浮的。
（3）气球、飞艇里充入密度小于空气密度的氢气，氦气或热空气，从而使球内气体的重力小于同体积空气的重力即它在空气中受到的浮力，因此它就可以升空。
4、物体密度与液体密度的大小关系决定物体浸在液体中时的浮沉情况。 浸没在液体中的物体， V排=V物。
（1）若ρ物>ρ液，则ρ物V物g>ρ液V排g，即G>F浮，物体会下沉；
（2）若ρ物=ρ液，则ρ物V物g=ρ液V排g，即G=F浮，物体就悬浮于液体中；
（3）若ρ物<ρ液，则ρ物V物g<ρ液V排g，即G<F浮，物体就会上浮，上浮到物体开始露出液面时，V排随之减小，则F浮也随之减小，当F浮逐渐减小到F浮′=G时，物体就漂浮。
5、盐水选种，利用硫酸铜溶液测定人体血液密度和“死海浮人”的原理。
（1）配制适当密度的盐水可用于选种，籽粒饱满的种子密度大于或等于盐水的密度，在盐水中下沉或悬浮，籽粒不饱满的种子密度小于盐水的密度，会漂浮在盐水面上，去掉它们即可。
（2）把人血分别滴入密度大小不同但其密度值均已知的硫酸铜溶液的试管中，血滴恰能悬浮的那支试管内硫酸铜溶液的密度与待测人血的密度恰好相等。
（3）人体的平均密度约等于水的密度，而死海海水的密度较水的密度大，所以人会浮在死海水面上，且露出较大的体积，以至人仰躺在死海水面上可以读书看报。
【典型例题】
例1、如图所示，是研究压强的简易实验，按图中甲、乙、丙三种方式安放器材，观察海绵表面下陷的情况：
（1）图甲和乙对比，小木桌对海绵的压力F甲________F乙，小木桌与海绵的接触面积S甲________S乙，得出的结论是________________.
（2）图乙和图丙对比，小木桌对海绵的压力F乙________F丙，小木桌与海绵的接触面积S乙________S丙，得出的结论是________________.
[分析]
对比甲、乙两图，小木桌跟海绵的接触面积是相同的，但乙图中的压力大，海绵凹陷程度反映了压力的效果.可见在受力面积相同时，压力越大，压强越大；这正是实验得到的结论.
对比乙、丙两图，虽然压力相等，但丙图受力面积大，乙图受力面积小，而乙图压力的效果明显，得出的结论是，当压力相等时，受力面积越大，压强越小.
答案：
（1）＜ ＝ 当受力面积相等时，压力越大则压强越大
（2）＝ ＜ 当压力相等时，受力面积大时，压强小；受力面积小时，压强大
例2、如图所示，三个完全相同的容器，里面分别装有质量相等的三种不同液体，三个容器都是圆柱形，那么
（1）这三个容器底受到液体的压强pa_____pb_____pc（填“＜”“＝”“＞”）；
（2）三种液体的密度相比较ρa_____ρc_____ρb；
（3）三容器对桌面的压强pA_____pB_____pC。
[分析]
根据液体对容器底的压强产生的原因，我们知道，三容器中液体对容器底的压力相等，而受力面积相等，因此压强相等；三容器a容器中液体的体积最小，b容器中液体的体积最大，但它们质量相等，所以ρa最大，ρb最小；由于三容器完全相同，三液体质量相等，故三容器对桌面的压强相等。
答案：
（1）＝＝ （2）＞＞ （3）＝＝
例3、如图所示，用细绳吊着一圆柱体G，侵没在圆柱形容器的水中，G刚好没入水面，G的横截面积是容器的底面积的，若匀速提起圆柱体G，当圆柱G刚好离开水面时，水对圆柱形容器底的压强减小490Pa，问此时绳沿力F方向拉过的距离有多长？
[分析]
根据压强减少的数目可算出在此过程中水面下降的数目，再根据水的总体积不变，可求出G的体积，进而求出G的高度，再减去水下降的高度，就是绳拉过的距离。
解：
由p=ρgh，
水面下降：，
G的体积：，
∴h=4Δh=0.2m。
则绳拉过的距离l=h-Δh=0.15m=15cm。
例4、图钉尖端的面积是0.3mm2，钉帽的面积是1.5cm2，用9N的力垂直于墙壁按这只图钉，试求：钉帽和墙壁受到的压力；钉帽受到的压强，墙壁受到的压强。
解：
当用力按图钉的帽，图钉将外力大小和方向不变地进行传递，钉帽的面积大，它对手产生的压强小，而钉尖的面积小，对墙壁产生的压强大。F1=F2=9N，
。
钉帽和墙壁受到的压力都是9N，钉帽受到的压强为6×104Pa，墙壁受到的压强为3×107Pa。
[分析]
本题主要考查固体对压力的传递特点及熟练应用压强公式p=F/S。解题关键是明确固体在处于平衡状态时，能够等值地传递外加压力，但压强的传递是非等值的，它随受力面积的变化而变化，在压力一定的情况下，压强的大小与受力面积成反比。在应用公式p=F/S计算时，各个量的单位必须统一用国际单位制的单位。本题易错点是不懂图钉将外力大小和方向不变地进行传递，使得无法求出钉尖对墙的压强。也有同学在面积单位上换算错误。
例5、在水平地面上竖立着A、B两个实心圆柱体，它们的底面积之比是2：3，对地面的压强分别为和，且：=1：3，把A叠放在B上后，B对地面的压强为则与之比是（ ）
A、11：9B、9：
1、1C、2：9D、9：2
解：
由
得
则 即
A叠放在B上之后，B对地面的压力
则
所以，正确答案是B。
例6、三个不同形状的容器A、B、C的底面积都等于S，装有相同深度h的同种液体，置于水平桌面上，如图所示，试比较：
（1）各容器底面所受的压强的大小；
（2）液体对各容器底面的压力的大小；
（3）如果各容器本身所受重力不计，三个容器底面对水平桌面的压强的大小。
解：
第（1）、（2）两小题要解决的是液体对容器底面的压强和压力问题,因此可用液体压强公式p=ρgh来解。第（3）小题要解决的是容器对水平桌面的压强问题,容器是固体,不能运用液体压强公式解答,而应当运用固体压强的知识解答。
答案：
（1）因为三个容器中装的是同种液体，所以ρA=ρB=ρC=ρ，且容器中液体的深度也相等，hA=hB=hC=h，根据液体压强公式p=ρgh，所以三个容器底面受到的压强相等，即pA=pB=pC。
（2）因为三个容器底面积相等SA=SB=SC=S，所受压强也相等，所以根据压强公式可知，三个容器的底面所受的压力都相等，即FA=FB=FC=p·S=ρghS。
（3）若容器本身所受重力不计，则容器底对水平桌面的压力就是容器内液体所受重力。由G=mg，m=ρV知：GA=ρgVA，GB=ρgVB，GC=ρgVC。
根据压强公式： ，则。
由图可知，三个容器中液体体积VA＞VB＞VC，且三个容器底面积相等，所以容器底面对水平桌面的压强pA＞pB＞pC。
[分析]
本题主要考查液体压强与固体压强的区别。解题关键是在讨论液体的压力和压强时，一般先求压强p=ρgh，后求压力F=pS。而在讨论容器对水平桌面的压力和压强时，则应先求压力F=G，后求压强p=F/S，特别要注意区别容器对桌面的压力与液体对容器底的压力，本题易错点是误认为容器底部受到的压力等于液体受到的重力，然后再根据p=F/S求出液体对容器底的压强。
例7、2003年3月下旬，香港淘大花园爆发“SARS”，经香港卫生署及世界卫生组织的调查，发现引起淘大花园“SARS”病毒大面积传播的原因之一是当地一些家庭很少使用地漏，如图所示，排泄地面上的污水，从而造成与卫生间地漏相连的U型存水弯头内没有存满足够的水，有的甚至是干的，因此不能正常发挥作用。
请你从物理学的角度对上述事件的原因做出简要分析。
[分析]
地漏中间的一段弯管呈U型，构成了一个连通器，本题的分析应从连通器的特点上展开。
答案：
U型存水弯头是一个连通器，正常使用时应充满水，这样就可以把地漏与下水道的空气隔开，若U型存水弯头内没有存在满足够的水，甚至是干的，就使得住户卫生间的地漏与室外下水道相通。淘大花园就是这种情况，以至造成带有SARS病毒的空气或小水滴在进入下水道后，通过U型弯头进入其他住户的卫生间，从而造成SARS病毒大面积传播。
例8、在工厂里常用圆形低压吸盘搬运距离，图中E为一圆形吸盘，其直径为0.2m，ABCD为一正方形平板玻璃，边长为1m，重125.6N，若吸盘能将该平板玻璃水平吸住并悬空，则吸盘内的气压至少应比外界大气压小______Pa。（π取3.14）
[分析]
平板玻璃静止时受到了重力及大气压力的作用，且这两个力是平衡的，则有F大气=G，大气压作用在玻璃上的有效面积等于吸盘的面积，大小为S=πR2=3.14× =3.14×10-2m2，则吸盘内的气压至少应比外界大气压小的值为：。
例9、如图所示，A、B是两个上端开口的容器，它们构成的是一个_________；当用一个管子沿B容器口吹气时，A容器中的液面会__________。（填“上升”“下降”或“不变”）
[分析]
A、B两个容器上端开口，底部边通，构成一个连通器，管子在B容器上端吹气时，高速气流使B管上方的气压降低，这时A管上方的空气压力就会把水从A容器压到B容器。
答案：连通器 下降
例10、养金鱼的人有一个简便易行的给金鱼缸换水的方法：用一根较长的橡胶（塑料）管，将管内灌满水，用手堵住两端，一端留在鱼缸的水面下，另一端放在鱼缸外低于鱼缸内水面的位置，松开手后，水会自动流出，请你用学过的知识解释这种方法。
[分析]
如图所示，连通A，B两水槽的细管称为虹吸管。题中所介绍的方法实际是虹吸现象的一种应用。当充满水的虹吸管一端留在高处的水槽中的水面下，高处水槽中的水会自动流入下方的水槽中，我们在虹吸管上方的正中取一液体薄片C作为研究对象，薄片左边受到向右的压强p1=p0-ρ水gh2，薄片右边受到向左的压强，p2=p0-ρ水gh1，式中p0为大气压强，但由图知h1＜h2，故有p1＜p2即薄片会向左移动。
例11、用一台抽水机能将离地面深20m的水一次抽上来吗？为什么？
解答：
因
则
即在大气压作用下水在抽水机中只能上升10m左右，因此，它不能把深20m的水一次抽上来。
例12、太阳能汽车是直接利用太阳能为能源的一种新型汽车，如图所示，是一种太阳能汽车（右边是它的剖面图），从形状上看，这种汽车在高速行驶时对水平地面产生的压力F1停在水平路面对地面产生的压力F2相比（ ）
A、F1＞F2 B、F1＜F2 C、F1=F2 D、无法比较
[分析]
太阳能汽车的上面呈弧形，底盘平直，在向前行驶时，迎面吹来的空气从上方流过的速度比从下方流过的速度要大，因此，空气对本身上方的压强比下方的压强要小，使车受到向上的升力，从而减小对地面的压力，而汽车在静止时对地面的压力等于车身的重量。
答案：B
例13、一均匀实心物体，挂在弹簧测力计下，称得其重力为G=19.6N，当把物体没入水中后，弹簧测力计的读数减小到F′=9.8N，求：
（1）该物体没入水中时所受到的浮力F浮=？
（2）该物体的密度ρ=？
解答：由弹簧测力计先后两次读数 G 和 F ′可求物体受到的浮力 F浮 =G － F ′。进而先根据 G=mg 求出物体的质量 ，再由阿基米德原理的数学表达式 F浮 = ρ液 gV排 ，求出 ，由于此物体是浸没于水中，所以 ，最后根据 来求物体的密度。
说明：F浮=G－F′是求物体所受浮力的一种方法，通常叫做“测量法”，F浮=ρ液gV排是求物体所受浮力的另一种方法，通常叫做“公式法”，而且它的两个变式：ρ液= 常用于计算液体的密度；常用于在知道V排与V物的大小关系时，计算物体的体积V物，进而做物体密度ρ物等的计算。
本题第②问，显然可利用 来计算物体的密度更为简单：
.
例14、一容积为4.5m3的气球，里面充满氢气，已知球壳的质量为800g，不计球壳的体积，问至少用多大的力拉住它才能使其不至升空？（ρ空气=1.29kg/m3，ρ氢气=0.09kg/m3，取g=10N/kg）.
解答：气球在空气中要受到浮力，球内氢气和球壳要受到重力，设所求拉力为 F，对气球作如图所示的受力分析，依题意应有：F浮=G氢气＋G壳＋F.
G壳=m壳g=0.8kg×10N/kg=8N
G氢气=ρ氢气gV球=0.09kg/m3×10N/kg×4.5m3=4.05N
F浮=ρ空气gV排=1.29kg/m3×10N/kg×4.5m3=58.05N
则： F=F浮－G氢气－G壳=58.05N－4.05N－8N=46N.
即：至少需要46N的力拉住它才能使其不至升空.
说明：当物体受到几个力的作用，对它进行受力分析并作出受力分析图，可以直观地表示出几个力的大小与方向关系，通常运用力的平衡的知识，再进行求解。本题中，氢气球受到的竖直向上的浮力F浮应与它受到竖直向下的氢气的重力G氢气，球壳的重力G壳和所需最小拉力F这三个力的合力平衡，从而得到F=F浮－G氢气－G壳。
例15、一木块浮在水面上时，有 体积露出水面，将该木块放入另一液体中，静止时有 体积浸在液体中，求木块和另种液体的密度。
解答：依题意画出两种情况下的木块状态图如图所示。
图甲中，木块浮在水面上，木块所受到的浮力应等于木块受到的水的浮力即： G=F浮（水），展开：
ρ木V木g=ρ水· V木g，化简：ρ木= ρ水
图乙中，木块受到的重力也等于木块所受液体的浮力，即 G=F浮（液），
展开ρ木V木g=ρ液· V木g。
化简：ρ液 =ρ木。
如甲图所示，因为木块漂浮在水面上，所以 G=F浮（水），即：ρ木V木g=ρ水· V木g，则：
ρ木 = ρ水= ×1.0×103kg/m3=0.6×103kg/m3.
如乙图所示，因为木块漂浮在液面上，所以 G=F浮（液），即：ρ木V木g=ρ液· V木g，则：
ρ液=ρ木= ×0.6×103kg/m3=0.8×103kg/m3.
说明：浮力问题中，应用物体漂浮或悬浮时 G=F浮建立等量关系求解的题目占有极大的比例。本题是一个典型代表，解答这类问题，依题意画出状态图，建立物体受力平衡的方程式求解，是解题的一般方法。有的题目还需要依题意建立方程组来求解。
例16、今有一质量为386g，体积为30cm3的金质球，求它在下列情况下所受到的浮力：
（1）在盛有足够深水的容器中静止时；
（2）在盛有足够深水银的容器中静止的时.（ρ金=19.3×103kg/m3，ρ水银=13.6×103kg/m3，取g=10N/kg）.
解答：解答本题，不可盲目套用公式 F浮=ρ液gV排，因为虽然ρ金>ρ水，ρ金>ρ水银，但此金质球是否在水和水银中静止时都下沉至容器底，并不由ρ金与ρ水，ρ水银的相对大小来决定，而是取决于金质球的平均密度。
（1）因为ρ球>ρ水，所以此球在水中应下沉，在盛有足够深的盛水容器中静止时，球浸没在水中
V排(水)=V球，故球所受水的浮力
F浮(水)=ρ水gV排=ρ水gV球=1.0×103kg/m3×10N/kg×30×10－6m3=0.3N.
（2）因为ρ球<ρ水银，所以此球在水银中自然静止时应处于漂浮状态，故球所受水银的浮力
F浮（水银）=G球=m金g=386×10－3kg×10N/kg=3.86N.
说明：
1、解答物理问题要结合特定物理情景，具体问题具体分析，不可生搬硬套，乱用物理公式；
2、本题第二问求浮力，运用的是前面提到的①实验法F浮=G－F′，②公式法F浮=ρ液gV排之外的第三种方法，不妨称之为“平衡法”，即当物体漂浮或悬浮时有：F浮=G.
前面有几道例题，后面是真题练习。感觉挺好的。要是有别的想要的，给我留言吧 例1反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n的值是 ． 本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标． 因为反比例函数的图象经过点（2，5），所以可将点（2，5）的坐标代入，求k就可确定解析式，再将点（1，n）代入解析式中求n的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n，由题意得2×5=1×n，所以n=10． 填10. 由反比例函数解析式经过变形，可以得到，因为k是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果．例2如图3-1，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 A. (0，0) B. C. D. 本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一． 当线段AB最短时AB⊥BO，又由点B在直线上可知∠AOB=45°，且OA=1，过点B作x轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为， 选B． 部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。 解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式。 例3某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：印数x（册） 5000 8000 10000 15000 …成绩y（元） 28500 36000 41000 53500 … （1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数．求这个一次函数的解析式（不要求写出x的以值范围）； （2）如果出版社投入成绩48000元，那么能印读物多少册？ 本题考查一次函数解析式的确定及其应用． （1）设所求一次函数解析式为，则，解得,所以所求函数的关系式为. （2）因为，所以x=12800 能印该读物12800册． 关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式，求出解析式。 例4若M、N、P三点都在函数（k＜0）的图象上，则的大小关系为（ ） A、＞＞ B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞ 本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小． 反比例函数当k＜0时，其图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，结合图象可知，＞＞， 选B． 部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当 k＜0时，图象位于二、四象限，y随x的增大而增大”。突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象，结合草图进行判断。 解题关键：反比例函数图象及性质在描述时，因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。 例6已知抛物线的部分图象如图3-2所示，若y＜0，则x的取值范围是 A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3 C．x＜－1或 x＞4 D．x＜－1或 x＞3 本题考查利用二次函数图象解不等式． 抛物线的图象上，当y=0时，对应的是抛物线与x轴的交点，坐标分别为（－1，0）、（3，0）．当y＜0时所对应的是x轴下方的部分，对应的x在－1与3之间，所以x的取值范围是－1＜x＜3 ， 选B． 本题解题关键在于正确理解y＜0在图象上反映出来的是对应x轴下面的部分，而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1至3，其中3根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴左边的交点坐标来确定的。 例7在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C，如图3-3，点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO求这个二次函数的解析式；设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长. 本题考查二次函数解析式的确定。由题目条件，可用待定系数法求解析式（1），，， 。 。
（2）， . （1）；
（2）。 部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法：由BO＝CO且点C的坐标为（0，－3）可推知点B的坐标为（3，0），然后代入求解。 例8小明在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为n%．若设到期后的本息和（本金+利息）为y(元)，存入的时间为x（年），那么（1）下列那个图像更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？（2）根据（1）的图象，求出y于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和． 本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式． （1）图乙反映y与x之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元 （2）设y与x的关系式为：y=100 n%x+100 把（1，102.25）代入上式，得n=2.25 ∴y=2.25x+100 当x=2时，y=2.25×2+100=104.5(元) （1）图乙，存入的本金是100元，一年后的本息和是102.25元。
（2）两年后的和是104.5元。 在选择图象时，应抓住起始钱数为100元，然后随着时间推移逐步增加，到1年时总钱数变为102.25元。确定好图象后，根据图象中的数据，利用待定系数法，容易求一次函数解析式。 例9一次函数y=x+b与反比例函数 图像的交点为A(m，n)，且m，n(m<n)是关于x的一元二次方程kx2+(2k-7)x+k+3的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m，n为常数． （1）求k的值； （2）求A的坐标与一次函数解析式． 本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点横坐标是其对应的一元二次方程的两个根． （1）由方程有两个不相等的实数根，得： △== ∴ 又∵k为非负整数 ∴k=0，1 当k=0时，方程kx2+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾 ∴k=1 （2）当k=1时，方程x2-5x+4=0 ∴ ∵m<n ∴m=1 n=4 即A点的坐标为（1，4） 把A（1，4）坐标代入y=x+b得b=3 ∴所求函数解析式为y=x+3 （1）k=1；
（2）A（1，4），函数解析式为y=x+3。 因本题涉及一元二次方程及二次函数相关问题，部分学生综合运用遇到困难。突破方法：要求k的值，与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此根据根的判别式可求出k的取值范围，再结合其它条件求出k的值。 例10阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图3-4中，图①. 观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图3-4中，图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图3-4中，图③．回答下列问题：
（1）在直角坐标系中，如图3-5，用作图象的方法求出方程组的解； （2）用阴影表示，所围成的区域． 本题考查学生对新知识的阅读理解发与应用能力． （1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，这两条直线的交点是P（－2，6）．则是方程组的解．（2）如阴影所示． （1）；
（2）如图3-5所示。 本题的难点是对题目条件所给信息的理解与运用。突破方法：结合图形反复研读，理解不等式与它所对应的直线的关系，并能在图象中用阴影表示出来。运用这一知识求解不等式组时，也就是要找出各不等式所表示的阴影的公共部分。例11如图3-6，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2,0）． （1） 求点B的坐标； （2） 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式； （3） 在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 本题考查求二次函数解析式，并探索抛物线上点的存在性，培养学生分析问题，解决问题的综合能力． （1） 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则 OD=，BD=，∴ 点B的坐标为() ． （2） 将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得 解方程组，有 a=，b=，c=0. ∴ 所求二次函数解析式是 y=x2+x. （3） 设存在点C（x , x2+x）（其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大. ∵△OAB面积为定值， ∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大. 过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则 S△OBC= S△OCF +S△BCF==， 而 |CF|==， ∴ S△OBC= . ∴ 当x=时，△OBC面积最大，最大面积为. 此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为. （1）B；
（2）y=x2+x；
（3）存在点C坐标为()，此时四边形ABCO的面积最大为。
（1）解题方法较为灵活，容易解决。
（2）因为已具备图象上三点坐标，可直接设为一般式，代入三点求解；也可以设为两根式，再代入点B坐标求解。
（3）关键要抓住四边形ABCO的面积由两部分组成，其中△OAB面积为定值，因此要四边形面积最大，问题转化为判断△OBC面积是否存在最大值。●难点突破方法总结 函数在中考中占有很重要的地位，是中考必考内容之一。课改实验区的函数综合题其背景材料更加丰富，更加贴近生活，更加注重对解决问题的思维过程的考查，但其计算量和书写量与非课改区相比，又有较大幅度的下降。在完成函数问题方面，要注重以下几点。 1.正确理解和掌握各种函数的概念、图象和性质，这是解决所有函数问题的基本前提。 2.应用函数性质解决相关问题时，要树立数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象、直观地解决有关不等式、最值、方程的解、以及图形的位置关系等问题。 3.利用转化思想，通过求点的坐标，来达到求线段长度；通过求线段的长度求点的坐标；通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点问题。 4.探究性问题的解题思路没有固定的模式和套路，解答相关问题时，可从以下几个角度考虑：
（1）特殊点法；
（2）分类讨论法；
（3）类比猜测法等，最重要的还是要结合具体题目的特点进行分析，灵活选择和运用适当的数学思想及解题技巧。●拓展演练 一、填空题 1． 如果正比例函数及反比例函数图象都经过点（-2，4），则正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ． 2. 抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ． 3．二次函数与轴有 个交点，交点坐标是 ． 4．已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则m= . 5．直线y =与两坐标轴围成的三角形面积是 . 6．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式. 7. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为 ． 8. 双曲线和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________． 9. 已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 ．（写出满足条件的一个k的值即可） 10.在电压一定的情况下，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，则I关于R的函数表达式为． 二、选择题 11. 直线y=kx+1一定经过点（） A．（1，0）B．（1，k）C．（0，k） D．（0，1） 12. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，则y与x的关系式是（）A．y=5x B．y=x C．y=xD．y=x 13. y=(x－1)2＋2的对称轴是直线 （ A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1 14. 如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上．现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（）15．点P（a，b）在第二象限，则点Q(a-1，b+1)在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．下列函数中,自变量的取值范围选取错误的是() A．中, 取全体实数B．中, 取的实数 C．中, 取的实数 D．中, 取的实数 17．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（ ） A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数D．二次函数 18．若二次函数，当x取时，函数值相等，则当x取时，函数值为（） A．a+c B．a－c C．－c D．c 19．抛物线的一部分如图所示，该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是 A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0） 20．抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；
②；
③＜0；
④＜0.其中正确的结论是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④三、解答题 21．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：（元） 15 20 25 30 …（件） 25 20 15 10 … （1）在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立与的恰当函数模型． （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3． （1） 求出点E的坐标； （2）求直线EC的函数解析式.23．某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表： 年 度 2001 2002 2003 2004 投入技改资金z(万元) 2.5 3 4 4.5 产品成本(万元／件) 7.2 6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元． ① 预计生产成本每件比2004年降低多少万元? ② 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）?24．已知函数 （1）求函数的最小值； （2）给定坐标系中，画出函数的图象； （3）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），求的值．25．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米． （1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式； （2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）26．如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃. （1）设矩形的一边为（m），面积为(m2)，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？●专题三《函数》习题答案 一、填空题 1． （提示：设正比例函数与反比例函数分别为，把点（-2，4）代入） 2.（－2，5），x=－2（提示：根据顶点式，顶点为，对称轴为） 3．2，（－2，0）、（1，0）（提示：把y=0代入解析式得，解之得） 4．－3（提示：由题意，一次函数图象过一、三、四象限，所以，解得） 5．（提示：直线与x轴交点坐标为（－2，0），与y轴交点坐标为（0，－），所以围成的三角形面积为） 6．（提示：答案不唯一，只需满足k＜0） 7.－2（提示：由可得，把点（2，－1）代入即可） 8.－2（提示：把A（－1，－4）代入求得k=4，再把B（2，m）代入求得m=2，再把A（－1，－4），B（2，2）代入y＝ax＋b，可求得a=2，b=－2） 9. 1（提示：答案不唯一，只需满足＜0即可） 10.（提示：设，把（2，3）代入，求得k=6） 二、选择题 11.D（提示：把各选项的坐标分别代入） 12.C（提示：根据题意，△AED∽△ABC，所以即，所以） 13. B（提示：根据顶点式，对称轴为） 14. C（提示：由题意，y的变化规律为先由小变大，再由大变小，且抛物线的开口均向上） 15. B（提示：P（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0，所以a-1＜0，b+1＞0，因此点Q(a-1，b+1)在第二象限） 16．D（提示：D项中分母不能为0，所以应取的x＞－3实数） 17．A（提示：由题意，当s一定时，速度v是时间t的反比例函数） 18．D（提示：二次函数对称轴为y轴，当x取时函数值相等，所以关于对称轴对称，所以，把x=0代入解析式得y=c） 19．B（提示：由图象可看出抛线对称轴为x=－1，与x轴的一个交点为x=－3，则另一点与之关于x=－1对称，为x=1，所以另一点为（1，0）） 20．B（提示：由图象可知＞0，＞0，＜0，所以＜0，所以＜0；又因为点（1，2）在抛物线上，把（1，2）代入解析式可得；由图象可知，当x=－1时，对应的y在x轴下方，所以＜0；而抛物线与x轴有两个交点，故＞0） 三、解答题 21．解：
（1） 经观察发现各点分布在一条直线上，∴设 （k≠0） 用待定系数法求得 （2）设日销售利润为z ，则= 当x=25时，z最大为225， 所以当每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元． 22．解：
（1） ∵S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3， ∴S△FAE∶S△FOC＝1∶4， ∵四边形AOCB是正方形， ∴AB‖OC， ∴△FAE∽△FOC，∴AE∶OC＝1∶2，∵OA＝OC＝6， ∴AE＝3， ∴点E的坐标是(3,6) （2） 设直线EC的解析式是y＝kx＋b， ∵直线y＝kx＋b过E(3,6)和C(6，0) ∴，解得： ∴直线EC的解析式是y＝－2x＋12 23．解：
（1）设其为一次函数，解析式为 当时，； 当=3时，6． 解得， ∴一次函数解析式为 把时，代人此函数解析式，左边≠右边． ∴其不是一次函数． 同理．其也不是二次函数． 设其为反比例函数．解析式为． 当时，， 可得 解得∴反比例函数是． 验证：当=3时，，符合反比例函数． 同理可验证4时，，时，成立． 可用反比例函数表示其变化规律． （2）解：①当5万元时，，． （万元）， ∴生产成本每件比2004年降低0．4万元． ②当时，． ∴ ∴（万元） ∴还约需投入0.63万元． 24．解：
（1）∵， ∴当x=2时，.（2）如图，图象是一条开口向上的抛物线． 对称轴为x=2,顶点为（2，-3）． （3）由题意，x1，x2，是方程x2-4x+1=0的两根， ∴x1+x2=4，x1x2=1. ∴ 25．解：
（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点A的坐标为（0.6，0.6）， 代入y=ax2，得a=，∴抛物线的解析式为y=x2. （2）点D1，D2的横坐标分别为0.2，0.4， 代入y=x2，得点D1，D2的纵坐标分别为：y1=×0.22≈0.07，y2=×0.42≈0.27， ∴立柱C1D1=0.6－0.07=0.53，C2D2=0.6－0.27=0.33， 由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为： 2（C1D1+ C2D2）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米. 26．解：
（1） 由已知，矩形的另一边长为 则= =，自变量的取值范围是0＜＜18.（2）∵ == ∴ 当=9时（0＜9＜18)，苗圃的面积最大，最大面积是81 又解 ∵ =－1＜0，有最大值， ∴ 当 =时（0＜9＜18)， （）
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