如何证不变子空间
不变子空间在线性代数中扮演着重要的角色。一般来说，如果一个线性映射将一个向量空间的一个子空间映射到它自身，那么这个子空间就是该线性映射的不变子空间。下面介绍一些证明不变子空间的方法。
证明方法一：使用线性映射的矩阵表示
证明方法二：使用线性映射的核和像
证明方法三：使用矩阵的特征向量和特征子空间
以上是不变子空间的三种证明方法，其中第一种方法适用于线性映射的矩阵表示，第二种方法适用于线性映射的核和像，第三种方法适用于矩阵的特征向量和特征子空间。根据具体情况选择适合的证明方法，可以方便地证明不变子空间的存在。
有多种方法可以证明不变子空间的存在。一种方法是利用线性代数中的定义和定理。不变子空间是指在线性变换下保持不变的向量子空间，也可以理解为矩阵的某些行和列组成的子矩阵。我们可以通过证明矩阵或者线性变换的特定属性来推导出不变子空间的存在。例如，不变子空间可以通过考虑线性变换的核或像来得到；另外，如果对于一个向量v和一个线性变换T，v在T之下的像和v本身线性无关，那么它们就可以生成一个不变子空间。除此之外还有很多其他的方法，比如通过展开矩阵或者利用矩阵特征值和特征向量等来证明不变子空间的存在。
1. 矩阵乘法法：设 $A$ 是线性变换 $T$ 在基 $B$ 下的矩阵表示，若向量空间 $W$ 中的向量 $v$ 满足 $Avin W$，则 $W$ 是 $T$ 的不变子空间。
2. 线性组合法：设 $W$ 是线性变换 $T$ 的不变子空间，若 $v_1,v_2,cdots,v_kin W$，则对于任意 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_kinmathbb{F}$，都有 $alpha_1v_1+alpha_2v_2+cdots+alpha_kv_kin W$。
3. 基变换法：设 $W$ 是线性变换 $T$ 的不变子空间，若 $B$ 是 $W$ 的一组基，则 $A=[T]_B$ 是形如 $begin{pmatrix}B_1 & 0 0 & B_2end{pmatrix}$ 的分块对角矩阵，其中 $B_1$ 和 $B_2$ 分别是 $T$ 在 $W$ 上的矩阵表示和 $W$ 的补空间上的矩阵表示，从而 $W$ 和 $W$ 的补空间是相互独立的。
证明 任取α∈V1⊥，可证Φα∈V1⊥，即Φα∈V1，事实上，任取β∈V1，由于V1是Φ的不变子空间，因此Φβ∈V1，而α∈V1⊥，故（α，Φβ）=0．
再由题设，Φ是反对称的，知
（Φα，β）=-（α，Φβ）=0，
由β的任意性，即证Φα∈V1 ．从而V1的正交补V1⊥也是Φ的不变子空间
