齐次线性方程组的通解只有一个吗?
非其次方程组的解的结构是这样的：
非齐次线性方程组的通解是非齐次方程组的一个特解与导出组基础解系的和。
依据上面的描述我们来看你的问题：
①线性代数中，齐次方程和非齐次方程的通解是唯一的吗?
通解是对非其次方程组谈的，非其次方程组的通解表示的内容是唯一的，表示形式可能不唯一，原因见下一个问题；
②他们的基础解系是唯一的吗?
基础解系是对齐次方程组谈的，其次方程组的基础解系中所含的线性无关的向量共有n-r个（其中n为未知数的个数，r为其次方程组系数矩阵的秩）。这n-r个向量是由自由向量取线性无关的n-r个而得到的。而使自由向量线性无关的n-r个值得取法不唯一，因此造成了基础解系的表示不唯一。
③在求基础解系时，对自由未知数可以任意取值吗?
可以任意取值，但正如②中所说，要保证取到的线性无关的向量的个数达到最大。
对于齐次线性方程组Ax=0来说，如果A列满秩，那么有唯一零解，那么通解表达形式唯一;否则，有无穷多解，此时由于基础解系并不唯一，因为其存在等价形式，故通解表达形式不唯一。
对于非齐次线性方程组Ax=b来说，如果rank(A，b)＞rank(A)，此时由于存在矛盾方程，故无解;如果rank(A，b)=rank(A)=n(变量个数)，此时有唯一解pinv(A)b，那么通解表达形式唯一;如果rank(A，b)=rank(A)＜n(变量个数)，此时有无穷多解，由于特解与基础解系的不唯一，故通解表达形式不唯一。
综合考虑，虽然通解的表达形式不同，但是其表示的都是一个线性子空间，本质没什么差别。
齐次线性方程组的基础解系当然不是唯一的， 只要基础解系写出来可以满足此方程组即可， 而解向量的个数和之间的关系当然是一样的
