函数可积: 教材定义了可积的含义"只要这个函数在[a,b]区间内的定积分存在(即曲线和轴围出来的面积存在且不为无穷)就说函数在这个区间[a,b]上可积。"教材上定义的可积是黎曼可积，因此在高数考研里可积首先要有区间限制的前提。教材给了两个充分可积的条件:
f(x)在闭区间[a,b]连续 (闭区间连续函数必有界，曲线围成的面积不可能为无穷大)
f(x)在区间[a,b]有界且只有有限个间断点 (有限个值的改变不影响极限，这里和严格单调的定义有点类似)
函数有定积分:在高数里似乎没有说"有定积分"这种说法，定积分说白了是一个常量C，变限积分定了上下限也是一个常量C(以上情况假设积分存在)，说"函数有常量"明显是错误的说法，应该是函数在区间上可积或函数在区间上有不定积分(原函数)。
函数有原函数:教材中原函数的概念出自不定积分，不定积分符号加一个函数就代表这个函数的原函数集合:。函数有原函数的前提和可积一样，首先要说明区间。在同济教材中，通过对极限、积分中值定理的学习，分析变限积分可以知道，闭区间内连续的函数必然有原函数。我非常推荐大家好好看看书本里的证明，非常的巧妙。
其实这里面最容易搞混的就是在区间内有原函数和可积这两个概念。
首先我们说假如一个函数有原函数，它一定可积吗？
就拿sec^2 x来举例子，它的原函数是tanx+C(区间在R上,除开不存在的点)。而sec^2 x在[0,π]上显然是不可积的，它是无界的；但是它在[0,π/4]却是可积的。
因此有原函数和可积没什么关系。可积只和你选定的区间和这个区间内被积函数的有界性和连续性有关。
再来说说如果一个函数在某个区间可积，它在这个区间有原函数吗？
因为定积分存在牛顿-莱布尼兹公式求值法，所以很多人会形成一个这种想法:
可积->在区间内定积分存在->定积分可以用牛顿莱布尼兹公式求值->用上限下限代入被积函数的原函数相减求值->因此被积函数只要可积就有原函数。
实际上，即使是分段函数求跨断点的定积分，也是可以通过牛-莱来获得答案，那么这个想法的漏洞在哪里呢？关键点在于函数相等的定义。那么我们是如何定义两个函数相等的呢:
定义规则f
自变量的定义域D
两个函数相等，需要定义规则f和定义域D都相等才算相等。
为了发现错误，我们按照之前可积->有原函数的思路举个例子:
显然，它在-π到1是可积的，只需要分别计算即可:
那么我们可以总结出一个在不同区间使用牛-莱的原函数:
那么这个F(x)就是f(x)原函数了不是吗？并非如此。我们写下F'(x)方可知道答案:
注意到了吗，F'(x)与f(x)的区别正是定义域的不同。F(x)在0点显然不可导，所以F'(x)是不能取到x=0的。因此f(x)没有原函数这一点从f(x)就可以看出来，为什么？因为f(x)在跳跃断点有定义。这其实就是学连续性的时候谈到的：导函数在定义的闭区间内没有第一类间断点。
由此我们可以发现，有一部分情况下，在区间内可积的函数存在原函数，但是在某一些其他情况下(比如上例被积函数区间内存在跳跃断点而且断点有定义)，可积又不能保证在相同闭区间内有原函数。
因此可积和是否有原函数也没什么关系。
这两个概念涉及到的是不定积分和定积分(黎曼积分)。很多人以为这两个概念有什么关系，实际上这两个概念应该是没什么关系的，不定积分定义的是函数的原函数，定积分是一个常量，只不过变限积分恰好和原函数的概念通过积分中值定理联系上了，并且从中得出了牛顿-莱布尼兹公式。
另外再谈一点很容易搞混的事情：变上限积分函数和原函数是否存在是没有关系的，可积的定义就说明了可以写出这个闭区间内的变上限积分函数，并不需要被积函数在此闭区间内有原函数。（当然如果原函数存在，变上限积分函数就是被被积函数的其中一个原函数）
存在这么一个结论：如果一个被积函数在闭区间内可积，并且连续或者存在第一类间断点，那么这个闭区间内的变上限积分函数是连续的。 所以当有人说φ(x)是上文提到的f(x)的变上限积分函数，你要明白这个φ(x)是连续的，你可以尝试去求一下φ(x)也能得出这个结论。切勿把它和原函数的概念混淆。
