平行的判定
一、平行公理及推论
1、平行公理（平行线的存在性和唯一性）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
2、推论（平行线的传递性）：平行于同一直线的两条直线平行。数字语言表示为：,a b c b a c ∴ 。
注意：
1、在平行公理中，若没有条件“过直线外一点”，则有无数条直线与已知直线平行；2平行公理着重强调“经过直线外一点”，而不是直线上一点，要与垂线的第一性质区别开；3如果,a b b c ，那么a c ，这里指“平行的传递性”，绝对不能说成“等量代换”，因为这里根本没有相等的量。
二、同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角与同旁内角都反映角与角之间的位置关系，它们总是成对出现，且任意一对角必须同时满足两个条件：都是两条直线被第三条直线所截而成;
（2）无公共顶点。
因此，不管被截的两条直线是否平行，都存在同位角、内错角和同旁内角。“一边共线”是这三类角的基本特征。识别这三类角的关键是：首先要搞清组成某一对角的三条直线中哪些是“两条直线”（被截线），哪条是“第三条直线”（截线）。可根据下面的方法来判别。
1.两点确定一条直线
2.两点之间线段最短
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4.同位角相等，两直线平行。
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
8.三边分别相等的两个三角形全等
1、直线公理
（1）经过两点只有一条直线。或者两点确定一条直线。
（2）两条直线相交，只有一个交点。
2、平行线的平行公理
（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补两点之间，线段最短。注：直线上两个点之间的距离叫做线段，这两个点叫做线段的两个端点。
4、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
5、垂线公理
（1）在同一平面内，过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。（简称垂线段最短
平行线性质
1.两直线平行，同位角相等。
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补。
4.两线平行并且不在一条直线上的直线平行线。
平行线判定
1.在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3.同位角相等，两直线平行。
4.内错角相等，两直线平行。
5.同旁内角互补，两直线平行。
