为什么伴随矩阵的行列式等于矩阵行列式

2023-10-24 00:29:25 84次

问题描述：

伴随矩阵的行列式为什么等于行列式的平方

2023-10-24 00:29:25

伴随矩阵是原矩阵的转置矩阵的每个元素的代数余子式组成的矩阵。而矩阵的行列式是通过对矩阵的元素进行一系列运算得到的一个标量值。

伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的原因可以通过线性代数的相关理论进行证明。根据线性代数的性质，矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。因此，我们可以将伴随矩阵表示为原矩阵的转置矩阵的行列式。

换句话说，设 A 是一个 n x n 的矩阵，其伴随矩阵为 adj(A)，则有：

det(adj(A)) = det(A^T)

由于矩阵的转置不会改变其行列式的值，所以有：

det(adj(A)) = det(A)

因此，伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。

2023-10-24 00:29:25

要a是一个三阶行列式才是，a^(-1)=a^*/|a|,|a^*|=||a|*a^(-1)|,a的行列式是一个数提出去就可以了，a的逆的行列式等于其行列式的倒数。

伴随矩阵的行列式是AA*=|A|E

那么对这个式子的两边再取行列式。

得到｜A| |A*| =| |A|E |

而显然｜｜A|E |= |A|^n

所以｜A| |A*| =|A|^n

于是｜A*| =|A|^ (n-1)

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念，是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。