雅可比行列式（Jacobian determinant）是一个矩阵的重要属性，通常用于计算坐标变换中的曲线、曲面积分以及变量变换中的概率密度函数等。
简单来说，雅可比行列式可以被看作一个坐标变换的比例因子。在二维空间中，如果有一个从 (x,y) 变换到 (u,v) 的映射关系 f(x,y)=(u,v)，那么它的雅可比行列式 J 作为坐标变换的比例因子可以被表示为：
J = ∂u/∂x * ∂v/∂y - ∂u/∂y * ∂v/∂x
在三维空间中，假设有一个从 (x,y,z) 变换到 (u,v,w) 的映射关系 f(x,y,z)=(u,v,w)，那么它的雅可比行列式 J 可以被表示为：
J = ∂u/∂x * (∂v/∂y * ∂w/∂z - ∂v/∂z * ∂w/∂y) - ∂u/∂y * (∂v/∂x * ∂w/∂z - ∂v/∂z * ∂w/∂x) + ∂u/∂z * (∂v/∂x * ∂w/∂y - ∂v/∂y * ∂w/∂x)
这些式子看起来很复杂，但它们的本质意义非常简单。雅可比行列式 J 的实际作用是衡量函数在变量变换时的比例因子。
