基本不等式是指当 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 都是非负数时，有：
$$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geqslant sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$$
其中等号仅当 $a_1=a_2=cdots=a_n$ 时成立。
利用基本不等式可以求一些最大值，例如：
1. 设 $a,b,c$ 都是正数，且 $a+b+c=1$，求 $abc$ 的最大值。
解：由基本不等式得：
$$frac{a+b+c}{3} geqslant sqrt{abc}$$
即 $frac{1}{27} geqslant abc$，等号成立当且仅当 $a=b=c=frac{1}{3}$。所以 $abc$ 的最大值为 $frac{1}{27}$。
2. 设 $a,b,c$ 都是正数，且 $a+b+c=3$，求 $a^2b+b^2c+c^2a$ 的最大值。
解：由基本不等式得：
$$frac{a+b+c}{3} geqslant sqrt{abc}$$
即 $abc leqslant 1$。不妨设 $ageqslant bgeqslant c$，则 $a^2b+b^2c+c^2a leqslant a^2b+ab^2+ac^2+bc^2$。由均值不等式得：
$$frac{a^2b+ab^2+ac^2+bc^2}{4} geqslant sqrt{a^3b^3c^2}$$
即 $a^2b+ab^2+ac^2+bc^2 geqslant 4abc$。所以 $a^2b+b^2c+c^2a leqslant 4abc leqslant 4$，等号成立当且仅当 $a=b=c=1$。所以 $a^2b+b^2c+c^2a$ 的最大值为 $4$。
