数学的内容十分广泛,它有许多分支.迄今,还没有一种公认的划分的原则.但就数学和现实生活的联系来说,大体分为两大类,即纯粹数学和应用数学.
1．纯粹数学
纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系,也可以说是研究数学本身的规律.它大体上分为三大类,即
研究空间形式的几何类,研究离散系统的代数类,研究连续现象的分析类
属于第一类的如微分几何、拓扑学.微分几何是研究光滑曲线、曲面等,它以数学分析、微分几何为研究工具.在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用.拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质,这种性质称为“拓扑性质”.如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时,曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。
属于第二类的如数论、近世代数.数论是研究整数性质的一门学科.按研究方法的不同,大致可分为初等数论、代数数论、几何数论、解析数论等.近世代数是把代数学的对象由数扩大为向量、矩阵等,它研究更为一般的代数运算的规律和性质,它讨论群、环、向量空间等的性质和结构.近世代数有群论、环论、伽罗华理论等分支.它在分析数学、几何、物理学等学科中有广泛的应用。
属于第三类的如微分方程、函数论、泛涵分析.微分方程是含有未知函数的导数或偏导数的方程.如未知函数是一元函数,则称为常微分方程,如未知函数是多元函数,则称为偏微分方程.函数论是实函数论（研究实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在复数平面上的函数性质）的总称.泛涵分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数、算子和极限理论,它研究的不是单个函数,而是具有某种共同性质的函数集合.它在数学和物理中有广泛的应用。
