几乎处处收敛的例子
{f_n(x)}一致收敛到f(x)：对任意ε，存在N>0，使得对所有n>N，|f_n(x)-f(x)|<ε对所有的x都成立。
{f_n(x)}点点收敛到f(x)：对任意一点x，对任意ε，存在N>0，使得对所有n>N，有|f_n(x)-f(x)|<ε。
那么我刚才说的收敛速度是什么意思呢？就是说对于给定的一个ε，要到第几项，才能保证f_n(x)已经足够接近f(x)了。
一致收敛说：给了一个ε，就能保证不管你在哪一个x处，只要到了第N项，f_n(x)就足够靠近f(x)
点点收敛就做不到了，它只能说，给了一个ε，对于每一点x，能找到一个N，使得从第N项开始，f_n(x)足够靠近f(x)，但是要注意这个N是取决于x的。
也就是说，对于不同的x，N的值可能是不同的。所以说点点收敛不能保证{f_n(x)}在每一点的收敛速度是一致的。
处处收敛但不一定一致收敛的例子可见于数列。如数列{((-1)^n))}, 它在每个整数点处收敛于0，即处处收敛，但是它不满足一致收敛。因为，当 n 趋于无限大时，它的极限值不收敛, 每个子段的上确界都为1/2。这就意味着此数列不满足一致收敛。
处处收敛但不一定一致收敛的例子很多，这里以一个简单的函数序列为例。考虑函数序列$f_n(x) = x^n$。显然，当$xin [0, 1)$时，函数序列$f_n(x)$会收敛到$0$，因为$x^n$会随着$n$增大而趋近于$0$。因此，我们可以得出函数序列$f_n(x)$在$[0, 1)$处处收敛到$0$。但是，如果我们仔细观察这个函数序列，就会发现它在$x=1$处并不收敛，因为$f_n(1)=1$对于所有$n$都成立。因此，我们可以说：函数序列$f_n(x)$在$[0,1)$处处收敛到$0$，但不一定一致收敛，因为在$x=1$处并不收敛。
在(0,1)开区间上考虑函数列x^n，n=1,2,3,...，这时候对任何一个固定的x∈(0,1)，当n趋于无穷的时候，x^n都趋于0。但是(1-1)^n，当n趋于无穷大的时候，就趋于一个固定的非零常数。这个函数列只能处处收敛但不能一致收敛。
