值域是开区间也是可以的。函数的有界性定义：设函数f（x）的定义域为D，数集X∈D。如果存在数K1使得f（x）≤K1对任意x∈X都成立则称函数f（x）在X上有上界。
此外，如果存在数字K2使得f（x）≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有下界，而K2称为函数f（x）在X上的一个下界。
如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数在X上有界。
如果这样的M不存在就称函数f(x)在X上无界；这也就是说，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
所以证明函数有界，只要能找到一个符合要求的M就行了，没说一定要找到符合要求的最小的M来。
例如反正切函数y＝tanx（x∈R），期值域为（－π／2，π／2）。是个开区间，那么对于π／2这个正数而言，｜tanx｜≤π／2恒成立，所以反正切函数有界。扩展资料若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D满足m≤f(x)≤M,x∈D。则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
连续映射将紧集映射为紧集：在n维欧氏空间中，紧集为有界闭集（在拓扑基为开球的情况下）。
在1维的情况下，有限个有界闭区间的并集是有界闭集。
因此，一元实值函数在定义域为有限个有界闭区间的并集的情况下，其值域为有界闭集。
同时这也说明了在这之上必可取最值。
而多元实值函数、一般的映射，也是同样的道理。
