有理根的判别方法

2023-10-24 01:50:13 151次

问题描述：

有理根的判断

2023-10-24 01:50:13

为了确定一个多项式是否有任何有理根，使用该定理，如果是这样就可以找出它们。由于定理给出了完全减少的有理根的分子和分母作为某些数的除数的约束，所以可以检查除数的所有可能的组合，或者找出合理的根，或者确定没有一个。

如果找到一个或多个，则可以将它们从多项式中分解出来，导致较低程度的多项式，其根也是原始多项式的根。

整数系数在复平面中具有三个解。如果通过有理根定理发现没有合理的解，则代数方法表达解的唯一方法是使用立方根。但是如果测试找到三个合理的解，那么可以避免立方根。并且如果发现存在一个合理的解r，则可以使用多项式长分割从三次多项式中求出：

得到二次多项式，其中两根是立方的剩余两根；并且这些可以使用二次公式找到，再次避免使用立方根。

2023-10-24 01:50:13

定理：若形如a0x^n+a1x^n-1+…+an-1x+an=0（其中，a0,a1,…,an均为整数）的方程有有理根，则其有理根为有理数p/q（其中p为an的约数,q为a0的约数，且p,q互质）。

证明：若方程a0x^n+a1x^n-1+…+an-1x+an=0，其有理根p/q（p,q互质）。

(qx-p)(b1x^n-1+…+bn-1x+bn)=0（其中，b1,b2,…,bn均为整数）。

展开后得：qb1x^n+(qb2-pb1)x^n-1+…+(qbn-pbn-1)x-pbn=0。

与原方程比较系数，得：a0=qb1，an=-pbn。

因此，p为an的约数，q为a0的约数。