任何可逆矩阵都可以通过初等变化为单位矩阵。 只有r(A)=n的情况下才成立。否则不能成立。因为非奇异矩阵A与单位矩阵E等价
所以存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=E
等式两边右乘Q^-1得
PA=EQ^-1=Q^-1
上式两边左乘Q
得
QPA=E
而P,Q可逆,故QP可逆
可逆矩阵可表示为初等矩阵的乘积
所以,
QPA=E
相当于A经初等行变换化为单位矩阵E.
注:
同理,
任何非奇异矩阵都能经过初等列变换转化成单位矩阵
问不可逆矩阵可以通过初等变换化成单位矩阵吗
问题描述：
不可逆矩阵的条件
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可逆矩阵
否。 设一个矩阵是n阶方阵，则以下说法等价 1、矩阵是满秩的 2、矩阵是可逆的 3、矩阵是非退化的（行列式≠0） 4、矩阵可表示为一系列初等矩阵的乘积 5、矩阵可以通过一系列初等变换化为单位矩阵 6、矩阵等价于单位矩阵 7、矩阵的标准型是单位矩阵 等等…… 只有这样的矩阵才可以。
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