先证明两个元素的公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
显然当A∩B=空集时,有card(A∪B)=card(A)+card(B),即上述公式成立（因为card(空集)=0）；
当A∩B≠空集时,而A∪B=(A(A∩B))∪(B(A∩B))∪（A∩B）,这是三个不相交的并,故card(A∪B)=card((A(A∩B))∪(B(A∩B))∪（A∩B）)=card(A(A∩B))+card(B(A∩B))+card(A∩B)；
又因为A=(A(A∩B))∪(A∩B),这又是一个无交的并(即(A(A∩B))∩(A∩B)=空集),故card(A)=card(A(A∩B))+card(A∩B),同理card(B)=card(B(A∩B))+card(A∩B)；
故card(A∪B)=card(A(A∩B))+card(B(A∩B))+card(A∩B)=(card(A)-card(A∩B))+(card(B)-card(A∩B))+card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),获证
再用上面的结论证明card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
card(A∪B∪C)=card(A∪(B∪C))=card(A)+card((B∪C))-card(A∩(B∪C))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-card((A∩B)∪(A∩C))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-(card(A∩B)+card(A∩C)-card((A∩B)∩(A∩C)))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-(card(A∩B)+card(A∩C)-card(A∩B∩C))=
card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-card(A∩B)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)获证.
注：论证过程中用到了一些集合的运算公式,现整理如下供你参考：
集合交换律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
集合结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
集合分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(
