点线共面的证明方法

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问题描述:

证明点共线,线共点

推荐答案

2023-10-24 02:29:52

关于这个问题,点线共面指的是一个点和一条直线在同一平面上。证明方法如下:

1. 假设有一个点P和一条直线l,需要证明它们在同一平面上。

2. 假设点P在平面上的坐标为(xp, yp, zp),直线l的方程为ax + by + cz + d = 0。

3. 因为点P在平面上,所以它满足平面方程ax + by + cz + d = 0。将点P的坐标代入该方程,得到axp + byp + czp + d = 0。

4. 由于点P和直线l在同一平面上,所以直线l上的任意一点(x, y, z)也应该满足平面方程ax + by + cz + d = 0。因此,将直线l的方程中的x, y, z代入该平面方程,得到a(x) + b(y) + c(z) + d = 0。

5. 由于直线l上的任意一点(x, y, z)都满足该平面方程,所以直线l上的任意两点(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)也满足该平面方程。因此,将两点的坐标代入方程中,得到a(x1) + b(y1) + c(z1) + d = 0和a(x2) + b(y2) + c(z2) + d = 0。

6. 将上述两个方程相减,可以得到a(x1 - x2) + b(y1 - y2) + c(z1 - z2) = 0。这个式子表示直线l上的任意两点之间的向量与平面法向量n = (a, b, c)垂直,因此直线l与平面垂直。

7. 因为直线l与平面垂直,所以它们不可能在同一平面上。因此,假设不成立,可以得出点P和直线l在同一平面上的结论。

其他答案

2023-10-24 02:29:52

在第一种方法:任取这4点中2点做一条直线,证明做出的2条直线相交、平行、或重合即可。

第二种方法:任取4点中3点做一个平面,再证明此平面经过这个点。

第三种方法:若其中有3点共线,则此4点一定共面。(过直线与直线外一点有且仅有一个平面)

如果已知4点坐标,可以用向量法、点到平面距离为0法证明4点共面

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