根据一般定义:
若函数图形上任意两点的连线段必在函数图形的上方(下方)，则称该函数为凸函数(凹函数)。
数学表达式定义为：
函数f(X)，对任意不相等的X1，X2∈〔a,b〕,以及λ∈（0，1），有
f[λX1+(1-λ)X2]≤λf(X1)+(1-λ)f(X2)
则f(x)称作凸函数。
从上述定义不能推断凸函数在凸性区间是否可导，从而凸函数也不一定有二阶导数。
举一个不可导的例子：
一个区间内，图形为向下凸折线段的函数，折线段上任意两点的连线段在该段函数图形上方，极端情形是该函数某两点连线正好与函数图形上某一线段重合（即上述不等式中的等号成立），根据定义，它是凸函数，可它不可导（但是连续，没有间断点），也没有二阶导数。
