高斯定理在物理学研究方面,应用非常广泛.
如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场,求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).
div(qR/(4πr^3)=0 R--为r的单位矢量,
本例说明静电场E是无源场.
应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便.特别是求静电场中的场强,在普通物理学中常用,这里就再举二例.
现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理,
设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为
E·dS=Ecosθds
=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的 介电常数
显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积,在球体内,面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds^2
故 E·ds= Q/(4πε0)dΩ
因此,E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0
场强学过普通物理的多数人都知道
下面用高斯公式来推导电荷守恒定律,设空间区域V,边界为封闭面S,通过界面流出的电流应等于体积
V内电量的减小率,
即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量, dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号）
ρ-电荷密度
注：J=Ρv’ V’---为速度矢量
用高斯公式进行积分变换,
∮J·dS=∫∫∫▽·JdV
可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0,
此式称电流的连续性方程.
