勒让德恒等式 对于满足arphi+
heta={1 over 2}pi!的arphi!与
heta!，勒让德证明了以下恒等式： K(sin arphi) E(sin
heta ) + K(sin
heta ) E(sin arphi) - K(sin arphi) K(sin
heta) = {1 over 2}pi! 高斯-勒让德原理 arphi=
heta={piover 4}!的值可以代入到勒让德恒等式，且K，E的近似值可通过a_0=1!与b_0=sin{pi over 4}=rac{1}{sqrt{2}}!的算术-几何平均数的序列项得到 高斯-勒让德算法是一种用于计算π的算法。它的收敛速度是显著的，只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过，内存密集是它的缺点，因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。 该方法基于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß，1777–1855）和法国数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）的个人成果与乘法和平方根运算的现代算法的结合。该算法反复替换两个数值的算术平均数和几何平均数，以接近它们的算术-几何平均数。
