何为线性变换
线性变换是一种映射，它满足向量加法和标量乘法两种运算的性质。不用公式说的话就是，想象空间中有一个向量，线性变换将会是这个向量变成另一个向量，那么前后这两个向量的关系，
一定是能用加法和乘法去简单描述的。就用最简单的一维情况描述的话，一个线性变换是4，那么经过这个变换后，2就会变成8,9会变成36，它的逆变换/frac14/frac14会将8变成2。如果一个变换是0，它会将所有都变成0。当然一维的例子无法以偏概全，因为可以想象的是，一维情况下任何向量都只有尺度之间的关系，而没有位移的关系。当引入二维以上的向量后，就需要位移才能表达一些变换了。在讨论二维以上的情况具体怎么变换之前，我们先考虑一个问题，从一个向量到另一个向量的变换是不是唯一的
线性映射（linear map），是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算。线性映射总是把线性子空间变为线性子空间，但是维数可能降低。而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射。那么就圆球变椭球的例子，我们可以看到，在XOY坐标系下的变换矩阵不简单。
但是，如果我们将基坐标选择为和 X’OY’重合，那么在这个坐标系下，同样基坐标方向上的那个向量在进行矩阵变换后只是变为原来的λ倍。V┡的零向量在V中的原像组成的集合，称为L的核，记作KerL,L(V)表示V在L作用下的像，则KerL和L(V)分别为V和V┡的子空间，若以dim KerL 和dimL(V)分别表示子空间KerL 和L(V)的维数，则有dimKerL+dimL(V)=dimV。
