(1)两边对x求导,得 y'=y'+xy''+y''+2y'y'' 可以发现方程化成了y''=f(x,y')的形式y''(x+1+2y')=0 当x+1+2y'=0时,解得y=-1/4*(x+1)²+C当y''=0时,解得y=C1x+C2.但 y'=C1,代入原方程中得C1x+C2=C1x+C1+C1²,∴C2=C1+C1² ∴解为y=Cx+C+C²(2)当x>0时,作换元x=e^t,或t=lnx,则 dy/dx=dy/dt*dt/dx=1/x*dy/dt d²y/dx²=-1/x²*dy/dt+1/x*d²y/dt²*dt/dx=1/x²*(d²y/dt²-dy/dt) ∴x²*y''=d²y/dt²-dy/dt,x*y'=dy/dt 代入原方程,得d²y/dt²-2dy/dt-8y=e^(2t) 对应的齐次方程为d²y/dt²-2dy/dt-8y=0,解得y0=C1e^(4t)+C2e^(-2t) 右边是e^(2t),故可设特解为Y=ke^(2t),则Y'=2ke^(2t),Y''=4ke^(2t) ∴4ke^(2t)-4ke^(2t)-8ke^(2t)=e^(2t) k=-1/8,即Y=-1/8*e^(2t) ∴原方程的通解为C1e^(4t)+C2e^(-2t)-1/8*e^(2t) 又t=lnx,代入上式得通解y=C1x^4+C2x^(-2)-x²/8
问微分方程最优解
问题描述：
求解微分方程的三种方法
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在微分方程中，最优解通常是指满足特定优化目标的解。优化目标可以是最小化或最大化某个函数，或是满足一定条件的最优解。
确定微分方程的最优解通常涉及到最优化理论和数学优化方法。一种常见的方法是使用变分法，其中利用变分计算函数的极值。具体做法是将问题转化为极值问题或变分问题，并应用变分法求解。
另外，最优控制理论是应用于微分方程的另一种方法，它研究如何在给定约束条件下找到最优控制策略。最优控制理论通常使用最优化方法和动态规划等技术来求解微分方程的最优解。
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