三角形内心定义为三角形三条角平分线的交点，联想到内切圆的圆心概念。接下来我们尝试从圆和角度的关系来证明三角形内心的存在性。
首先，设三角形ABC的三个角为∠A、∠B、∠C，各角平分线交点为I，圆心为O，则应有：
∠BAI = ∠CAI = x
∠ABI = ∠CBI = y
∠BCI = ∠ACI = z
易知 ∠AIO = 2y + 2z 和 ∠AOC = 2∠BAC = 2x + 2y + 2z，因为相对圆心的两个角是等角，所以有 ∠AIO = 1/2(∠AOC)。
而由于直角三角形 ABO 和 ACO，分别有 ∠BAO = y，∠CAO = z，因此也有 ∠AIO = ∠BAO + ∠CAO = x。
将这两个结果结合起来就可以得到 2y + 2z = 2x，即 y + z = x，证明了三角形内心存在的条件得到满足。
因此，当三角形内心存在时，它就是三条角平分线的交点。反过来，当三角形内心不存在时，即三角形是等腰或者直角三角形，那么对应的两条角平分线重合了，这时也可以认为内心在这条平分线上，因此这个结论同样成立。
