根式判别法（柯西判别法）
正项级数
正项级数
正项级数
设 为正项级数，且存在某正常数 及正常数 。
正项级数
正项级数
正项级数
（1）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 收敛；
正项级数
正项级数
正项级数
（2）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 发散；
柯西判别法的极限形式：
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
设
为正项级数，且
则：
（1）当
时，级数
收敛；
正项级数
正项级数
（2）当 ，级数 发散。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
注意：若 ，这时用根式判别法不能对级数的敛散性做出判别，因为它可能是收敛的，也可能是发散的，例如级数 和 ，他们的比式极限都是 ，但 是收敛的， 却是发散的。
积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
设 为 上非负减函数，那么正项级数 与反常积分 同时收敛或同时发散。
典例
p级数
正项级数
正项级数
正项级数
讨论 级数 的收敛性，其中常数 。
解：分两种情况讨论，
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
（1）当 ， 级数的各项大于等于调和级数 的对应项，即 ，由于调和级数发散，因此根据比较判别法可知，此时 级数发散。
正项级数
正项级数
正项级数
（2）当 时，记 级数的部分和为： .
正项级数
正项级数
正项级数
当 时，取 ，则有 ，所以有：
正项级数
正项级数
从而
正项级数
即有 。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
这表明当时， 级数的部分和有界。因此，当时，级数收敛。
例2
正项级数
讨论正项级数的敛散性。
解：
正项级数
正项级数
正项级数
（1）当时，对一切都有，因此级数发散。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
（2）当时，对一切都有，而为收敛的等比数列，因此级数收敛。
