设x0为任意点，只要证明，lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可，（左极限=右极限=函数值）。
证明在定义域的开区间任意一点x0有x→x0limf(x)=f(x0)，闭区间还需要证明在端点处单侧连续。
连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的。
又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。
反函数连续性：
如果函数f在其定义域D上严格单调且连续，那么其反函数f-1也在其定义域f(D)（即f的值域）上严格单调且连续。
证明：严格单调函数必定有严格单调反函数，并且单调性相同（证法参考反函数词条），因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。
设f是定义在D上的严格单增的函数（严格单减同理）。作辅助函数g(x)=x，显然g(x)的反函数就是它本身。
由于g(x)在R上是连续的，因此它在D上也是连续的。
①若D是开区间，设x0是D上任意一点，由g(x)的连续性可知，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。
于是可取区间(x0-δ,x0+δ)上满足x1<x0<x2的两点（前提是x1、x2落在D内），根据f的连续性可知开区间(x1,x2)内的所有x（包括x0）都满足|x-x0|<ε。
