1+1=2 背后代表的是 自然数公理化的历史。
自然数公理化，最早于 1881 年，由 美国数学家皮尔斯 提出，定义如下：
1 是最小的数；
x + y，当 x = 1 时，是下一大于 y 的数，其它情况，是下一个大于 x⁻ + y 的数；
x × y，当 x = 1 时，就是 y，其它情况，为 y + x⁻y；
其中，x⁻ 是 上一个小于 x 的数。
因为，减法和除法分别是加法和乘法的逆运算（而且对自然数并不封闭），因此 只需要公理化 加法 和 乘法就可以了。
按照 皮尔斯公理 的定义，1 + 1 是 x = 1 的情况，它的值 是下一个大于 y = 1 的数，即，2。
之后，1888 年 德国数学家 戴德金，给出了另外一套 公理：
设 非空 N，给定 N 中的一个元素 e ∈ N，已经 N 上的映射 S: N → N，若满足：
e 不是 S 的值，即：e ∉ ran S；
S 是单射，即：∀ n, m ∈ N，（S(n) = S(m)） ⇒ （n = m)；
归纳原理，即，对于任意子集 A ⊂ N，如果 e ∈ N 并且 若 n ∈ A 则 S(n) ∈ A 那么 A 就是 N，即：∀ A ⊂ N，(1 ∈ N) ∧ ((1 ∈ N) ⇒ (S(n) ∈ A)) ⇒ (A = N)，
则称 三元组 (N, e, S) 是一个自然数系统，N称为 自然数集，e 称为 初始元， S 称为 后继。
戴德金，从更本质的层次，对自然数进行了公理化，可以通过这套公理，定义 自然数 的 加法 和 乘法运算 从而 和 皮尔斯公理 等价。
但是，这个公理系统表示的有些复杂（当时数理逻辑语言才刚刚建立），于是，没有引人们注意。
注：这里 ⊂ 是包含于，真包含于 记为 ⊊ 。
紧接着第二年，即，1889 年，意大利数学家皮亚诺，独立于戴德金，发布了 皮亚诺公理：
0 是自然数；
任意一个自然数 n 的 后继数 n⁺ 任然是 自然数；
0 不是任何 自然数的 后继数；
两个自然数相等 当且仅当 它们的后继数 相等；
对于自然数集的子集 A，如果 0 ∈ N 并且 若 n ∈ A 则 n⁺ ∈ A 那么 A 就是 自然数集。
很明显，皮亚诺公理 就是 戴德金 公理的 简化版本，因此也称为 戴德金-皮亚诺公理。
注：最早，皮亚诺 用 1 作为 最小的自然数，并且 将 等价关系 作为 公理的 一部分，上面是后来的改进版本。
用 皮亚诺公理 ，定义 自然数 加法 如下：
x + 0 = x
x + y⁺ = (x + y)⁺
乘法如下：
x 0 = 0
x y⁺ = x + x y
利用上面的加法定义，证明题主的问题：
1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2
以上不管是那个公理系统都是抽象的，在不同的数学领域有不同的实例， 以皮亚诺公理为例有：
在最古老的算术下：
0 = 0
x⁺ = x + 1
在集合论下：
0 = Ø
x⁺ = x ∪ { x }
于是有：
1 = { 0 }, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, ...
丘奇数：
0 = λ . s λ . z z
x⁺ = λ . x λ . s λ . z x s (s z)
于是有：
1 = λ . s λ . z s z,
2= λ . s λ . z s (s z)，3 = λ . s λ . z s (s (s z))
在范畴论下：
设 C 是一个范畴，1 是 C 的 终止对象，于是定义 范畴 US₁(C) 如下，
US₁(C) 的对象是 一个三元组 (X, 0ᵪ, Sᵪ)，其中 X 是 C 的对象，0ᵪ: 1 → X 和 Sᵪ: X → X 都是 C 的态射；
US₁(C) 的态射 f: (X, 0ᵪ, Sᵪ) → (Y, 0ᵧ, Sᵧ) 就是 C 态射 f : X → Y，并满足：f 0ᵪ = 0ᵧ 并且 f Sᵪ = Sᵧ f，
如果 US₁(C) 中可以找到一个 初始对象 (N, 0, S)，即，对于任意对象 (X, 0ᵪ, Sᵪ)，有唯一的态射 u: (N, 0, S) → (X, 0ᵪ, Sᵪ) ，则称 C 满足 皮亚诺公理。US₁(C) 中每个 三元组 对象都是 一个 皮亚诺公理系统。
可以证明这些实例都 满足 皮亚诺公理 定义的条件，因此这些实例都是 良定义的。
（由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎题主和各位老师批评指正！）
