严格单调的反函数是连续函数的原因可以从反函数的定义和严格单调性的特性来推导。
首先，让我们回顾一下反函数的定义。如果函数 f 在定义域 D 上是严格单调的，即对于任意的 x1 和 x2，如果 x1 < x2，则有 f(x1) < f(x2) 或 f(x1) > f(x2)。那么对于 f 的值域 R 上的每个 y 值，存在唯一的 x 值使得 f(x) = y。这个唯一的 x 值就是 f 的反函数，记作 f^(-1)。
现在我们假设 f 是一个严格单调递增的函数，并考虑其反函数 f^(-1)。我们想要证明 f^(-1) 是连续的。
假设我们选取 f^(-1) 的任意两个值 f^(-1)(y1) 和 f^(-1)(y2)，其中 y1 < y2。我们想要证明当 y2 接近 y1 时，f^(-1)(y2) 也接近 f^(-1)(y1)。
由于 f 是严格单调递增的，我们可以推导出 f^(-1) 是单调递增的。因此，对于任意的 x1 和 x2，如果 f^(-1)(y1) < x1 < x2 < f^(-1)(y2)，则有 y1 < f(x1) < f(x2) < y2。这意味着我们可以在 y1 和 y2 之间找到 x 值的范围，使得对应的 f(x) 位于 y1 和 y2 之间。
现在让我们考虑当 y2 接近 y1 时会发生什么。根据 f 的连续性，当 y2 接近 y1 时，存在 x2 接近 x1，使得 f(x2) 接近 f(x1)。因为 f^(-1) 是 f 的反函数，我们可以得出结论，当 f(x2) 接近 f(x1) 时，x2 也接近 x1。
综上所述，当 y2 接近 y1 时，对应的 x2 接近 x1。这表明 f^(-1)(y2) 接近 f^(-1)(y1)，因此 f^(-1) 是连续的。
同样的推理可以用于证明严格单调递减函数的反函数也是连续的。
综上所述，严格单调的反函数是连续函数。
