假设需要估算的根号里的数为 $a$，可以采用以下两种方法进行估算：
1. 二分逼近法
此方法适用于需要估算的数值较大时。具体步骤如下：
- 首先确定一个误差范围 $e$，一般取 $10^{-n}$，其中 $n$ 为需要精确的位数。
- 然后确定根号下界和上界，通常可以先找到一个整数 $b$，使得 $b^2$ 是 $a$ 的下一个整数或相邻整数，即 $b^2 le a < (b+1)^2$，那么根号的下界就是 $b$，上界就是 $b+1$。
- 接下来反复进行以下步骤，直到满足误差要求为止：
- 令 $c=(l+r)/2$，即取当前下界和上界的中间值。
- 如果 $c^2$ 与 $a$ 的误差小于 $e$，则可以认为此时 $c$ 是 $a$ 的平方根的一个近似值，并返回 $c$。
- 如果 $c^2$ 大于 $a$，则更新上界为 $c$，否则更新下界为 $c$，并反复进行以上步骤。
2. 线性逼近法
此方法适用于需要估算的数值较小时，即 $a$ 的值比较接近于某个完全平方数。具体步骤如下：
- 首先确定一个误差范围 $e$，一般取 $10^{-n}$，其中 $n$ 为需要精确的位数。
- 然后可以对 $a$ 进行数学变形，如将 $a$ 写成形如 $b^2+c$ 的形式，其中 $b$ 为一个比较大的整数，$c<a$，且 $b^2$ 与 $a$ 的差距尽量小。
- 接下来可以使用泰勒展开式，将 $sqrt{b^2+c}$ 在 $x=b$ 处展开，即 $sqrt{b^2+c}approx b+frac{c}{2b}$，可以直接用这个式子对 $a$ 进行估算，若需要更高精度，可以多展开几项。
需要注意的是，以上两种方法只是估算，且误差范围随着所需精度的提高而缩小。如果需要得到精确的根号值，还需要使用数值计算方法进行求解。
