Dirichlet函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。其图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数。Dirichlet函数处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分，但它是一个处处不连续的可测函数。
可以将其视为一个分段函数，其定义如下：（k，j为整数）或者D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）。
Dirichlet函数有许多重要的性质，例如：
- 它的定义域为整个实数域R。
- 其值域为{0,1}。
- 它是偶函数。
- 无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。
- 以任意正有理数为其周期，无最小正周期。
- 处处不连续。
- 处处不可导。
- 在任何区间内黎曼不可积。
- 在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0。
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