狄利克雷函数（Dirichlet Function）是一个在数学中常见的分段函数，其表达式定义如下：
[ D(x) = begin{cases}
1, &
ext{如果 } x
ext{ 是有理数}
0, &
ext{如果 } x
ext{ 是无理数}
end{cases}
]
这个函数在有理数上取值为1，在无理数上取值为0。
推导狄利克雷函数的表达式涉及到实数集、有理数和无理数的概念。
以下是一个简单的推导过程：
1. **有理数和无理数**：首先，理解有理数是可以表示为两个整数的比例，而无理数则不能表示为这种比例。
2. **分割实数集**：将实数集分为两部分，一部分是有理数集，另一部分是无理数集。可以证明实数集是由有理数和无理数组成的。
3. **定义函数值**：对于每个实数 ( x )，定义狄利克雷函数的值，如果 ( x ) 是有理数，函数值为1；如果 ( x ) 是无理数，函数值为0。
这样定义的狄利克雷函数在实数集上的取值就满足了前述的条件，即在有理数上为1，在无理数上为0。
请注意，狄利克雷函数是一个典型的分段函数，它在不同的实数集上有不同的定义。在数学分析中，狄利克雷函数是一个经常被用来举例说明各种性质的函数。
