由于tet函数无法被初等函数表示，因此其不定积分也无法用传统的微积分方法求解。但是可以通过级数展开、特殊函数等方式近似计算tet函数的积分值。
以下是两种常用的方法：
1. 级数展开法
根据tet函数的定义可以得到其级数展开式：
$$
operatorname{tet}(x)=frac{x^4}{4!}-frac{x^8}{8!}+frac{x^{12}}{12!}-cdots
$$
根据幂级数的性质，可以对每一项逐个求不定积分，得到如下近似表达式：
$$
int operatorname{tet}(x) mathrm{d}x=frac{x^5}{5cdot 4!}-frac{x^9}{9cdot 8!}+frac{x^{13}}{13cdot 12!}-cdots
$$
此方法的缺点是需要计算很多项级数，在计算机上的有效性也有限。
2. 特殊函数法
可以将tet函数表示为某些特殊函数的组合形式，从而近似计算其不定积分。例如，可以将tet函数表示为贝塞尔函数的组合形式：
$$
operatorname{tet}(x)=frac{2}{pi}left[J_0(x)+2sum_{n=1}^{infty}(-1)^n J_{4n}(x)
ight]
$$
其中$J_n(x)$表示第一类贝塞尔函数。然后，可以使用贝塞尔函数的不定积分公式对上式进行积分，得到tet函数的近似不定积分表达式。
需要注意的是，在实际计算过程中，由于级数收敛很慢，或者特殊函数的运算较为繁琐，因此求解tet函数的不定积分需要使用高精度计算工具，并对结果进行一定的误差估计和修约处理。
