Toeplitz定理是数学分析中一个重要的定理，它描述了矩阵的极限性质。该定理的推导过程比较复杂，需要使用一些数学分析中的概念和技巧。
首先，我们需要定义一些符号和概念。设 A_nA
n
表示一个 n
imes nn×n 的实数矩阵，a_{i,j}a
i,j
表示 A_nA
n
中第 ii 行、第 jj 列的元素。若对于所有的 i,ji,j，都有 a_{i,j} = g(i-j)a
i,j
=g(i−j)，其中 gg 是一个二元实函数，则称 A_nA
n
为一个 Toeplitz 矩阵。
接下来，我们可以使用递归的方法来推导 Toeplitz 矩阵的极限性质。具体来说，我们可以将 Toeplitz 矩阵 A_nA
n
的元素表示为 a_{i,j} = g(i-j)a
i,j
=g(i−j)，然后将其分解为第一行和其它行的和，即 A_n = B_n + C_nA
n
=B
n
+C
n
其中 B_nB
n
的第一行为 a_{1,j}a
1,j
而 C_nC
n
的第一行为 00。接下来，我们可以使用递归方式，将 B_nB
n
和 C_nC
n
分别分解为 B_{n-1}B
n−1
和 C_{n-1}C
n−1
的形式，直到 n=2n=2 为止。
通过递归分解，我们可以得到 A_n = B_n + C_n = B_{n-1} + C_{n-1} + D_nA
n
=B
n
+C
n
=B
n−1
+C
n−1
+D
n
其中 D_nD
n
的第一行为 a_{n,1}a
n,1
而其它行均为 00。接下来，我们可以使用放大矩阵的方法，将 B_{n-1}B
n−1
和 C_{n-1}C
n−1
分别放大为 n
imes nn×n 的矩阵，即 $E_n = begin{bmatrix} B_{
