二阶齐次微分方程的通解怎么求
第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。
第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。
第三种：一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。
拓展：二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f（x）的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
一、解：
求特征方程r^2+P(x)r+Q(x)=0，解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数，
则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。
二、r是微分方程的特征值，它是通过方程r^2-2r+5=0来求出的。
将其看成一元二次方程，判别式=4-20=-16<0,说明方程没有实数根，但在复数范围内有根，根为： r1=1+2i r2=1-2i；
在复数领域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数；所以本题的两个特征值符合这一关系，故谓共轭复根
举一个简单的例子：
y''+3y'+2y = 1 (1)
其对应的齐次方程的特征方程为：
s^2+3s+2=0 (2)
因式分解： (s+1)(s+2)=0 (3)
两个根为： s1=-1 s2=-2 (4)
齐次方程的通解：
y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5)
非奇方程(1)的特解：
y* = 1/2 (6)
于是（1）的通解为：
y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x) (7)
其中：a、b由初始条件确定。
