二次微分方程通解公式

2023-10-23 14:32:04 57次

问题描述：

二次方微分方程

2023-10-23 14:32:04

y''+a1y'+a2y=0，其中a1、a2为实常数。

对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

2023-10-23 14:32:04

求微分方程 y''+2y'+y=5e^(-x)的通解

解：齐次方程 y''+2y'+y=0的特征方程 r²+2r+1=(r+1)²=0的根r₁=r₂=-1；因此齐次方程的

通解为：y=[e^(-x)](c₁+c₂x);

因为原方程右边的5e^(-x)中的指数所含 -1正好是特征方程的重根，因此要设特解为：

y*=ax²e^(-x)..........①

y*'=2axe^(-x)-ax²e^(-x)=a(2x-x²)e^(-x)............②

y*''=a(2-2x)e^(-x)-a(2x-x²)e^(-x)=a(2-4x+x²)e^(-x)............③

将①②③代入原式得：a[(2-4x+x²)+2(2x-x²)+x²]e^(-x)=5e^(-x)

即有 2a=5，故a=5/2；∴特解 y*=(5/2)x²e^(-x)；

故原方程的通解为：y=[(c₁+c₂x+(5/2)x²]e^(-x);