a.e. 在实变函数中的意思是几乎处处收敛，i.e.是即的意思。现代实变数理论着重于广泛应用集合论方法，通常分以下三部分：
①描述性理论。研究由极限过程得到的某些函数类的性质。
② 度量理论。研究以集合的测度概念为基础的函数性质。
③ 逼近理论。例如，连续函数可以用多项式逼近的魏尓斯特拉斯定理。在函数连续性方面，实变函数论考察了例如定义在直线的子集M（不必是区间）上的函数的不连续点的特征：第一类间断点最多只有可列个，第二类间断点必是可列个（相对于的）闭集的并集（也称和集）的结论；还讨论怎样的函数可以表示成连续函数序列处处收敛的极限，引入半连续函数，更一般地是引入贝尔函数(Baire function)，并讨论它们的结构。与研究函数连续性密切相关的就是讨论各类重要的点集如，更一般的是波莱尔集及其结构。解析集合论就是在深入讨论波莱尔集和勒贝格可测集相互关系基础上形成的一个数学分支。实变函数论在函数可微性方面所获得的结果是非常深刻的。
