处处连续的函数不一定可积，这是由积分的定义决定的。在积分的定义中，被积函数需要是可积的，即在某个区间上的“不好的”地方（如间断点）的集合的测度（长度）为零。而处处连续的函数在定义上没有给出这样的间断点集合，因此不能保证处处连续的函数一定可积。当然，在一些特殊情况下，处处连续的函数可能仍然可积，但这需要具体的函数形式进行判断。
问处处连续的函数可积吗
问题描述：
处处连续的函数可积吗
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是的，处处连续的函数一定可积。这是因为连续函数的特点是在其定义域内每个点处都存在极限，因此其在任意区间上的振幅都可以被限制。由此，我们可以构造一组越来越密集的分割，使得每个子区间的长度趋近于0，从而使得黎曼和的上下界差距趋近于0，即黎曼和的极限存在，因此该函数是黎曼可积的。
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是的，处处连续的函数可积。这是因为在连续的情况下，函数的振幅有限，可以用矩形逼近法进行积分。具体来说，将函数分割成若干个小区间，在每个小区间内用矩形逼近函数，然后将所有小矩形的面积加起来即可。这种方法能够得到一个近似值，当小区间的数量趋近于无穷大时，逼近的误差也会趋近于零，从而得到积分的准确值。因此，处处连续的函数是可积的。
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处处连续的函数并不一定可积。虽然连续函数在有限区间上一定可积，但若函数在无限区间上的振荡太剧烈，积分可能会发散。例如，函数f(x) = sin(1/x)在0附近振荡非常厉害，即使它在0处连续，但它在[0,1]上并不可积。因此，连续并不意味着可积，积分的可求性还需要考虑函数的其他特性。
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处处连续的函数不一定可积。虽然连续性是函数可积的一个必要条件，但并不足以保证可积性。例如，Dirichlet函数在所有点处都是不连续的，但是它在有限区间上是可积的。另外，如果函数在某些点处有无穷大或无穷小的震荡，也可能导致该函数不可积。因此，连续性只是函数可积性的一个必要条件，还需要其他条件来保证函数的可积性。
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