配极原理

2023-10-23 15:08:04 212次

问题描述：

配极原理证明

2023-10-23 15:08:04

在射影平而上，给定一非退化二阶曲线，其极点与极线构成了点与直线之间的一一对应关系。该同底点列与线束之间的对应称为配极对应，配极对应是一种异素对应，其代数表达式为，即

配极图形

其中与是对应极点与极线的坐标。

配极图形

在配极对应下，射影平面上任一由点和直线构成的图形F对应于一由直线和点构成的图形F'，F、F'称为一对相互配极的图形。当一个图形的配极图形与自身重合时称之为自配极的，自极三点形就是一个自配极的图形。

配极对应是非奇异的线性对应。于是，共线四点的交比与其四条对应极线(共点四线)的交比相等。

射影平面上一般的点线异素对应的代数表达式为

即

配极图形

这里不要求A=A ，也是非奇异的线性对应。

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配极原则(polarity principle)是指射影空间中一种特殊的对应规律，即对于一个给定的二阶曲面，如果点P在点Q的极面上，则点Q也在点P的极面上。

上述原则也可对偶地叙述为：对于一个给定的二阶曲面，若点P的极面通过点Q，则点Q的极面也通过点P，这两个平面称为一对共轭平面。

在平面中，配极原理叙述为：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点。