分式的因式分解定理
分式拆解成几个分式的和。先把分母因式分解，红色部分已经分解好了。
这样分式一定是几个分式的和，分母分别是x+2，(x+2)^2, x^2+x+1,
最重要的是确定分子，分子用的是待定系数法，红色部分的分子1，2，1，先要设成a，b，c，然后通分相加，右边的分子就变成
a(x+2)(x^2+x+1)+b(x^2+x+1)+c(x+2)^2
和左边的分子相同，立方程
a(x+2)(x^2+x+1)+b(x^2+x+1)+c(x+2)^2=x^3+4x^2+x
对于任何x都成立，那么取x=-2，x=0，x=1 分别代入，可以求得a，b，c的值，1，2，-1. 这样得到右边的式子
是存在的。因为当分式不可化简时，就需要使用因式分解定理来分解式子，使之可化简，进而便于计算和使用。其包括利用因式分解定理求出极限值、进行积分计算等。因此，理解掌握因式分解定理对于数学的学习及应用都具有重要意义。
分式的因式分解定理是指，对于分式 $frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是多项式且 $Q(x)$ 不为零，则可以将其分解为若干个分式的和或差，每个分式形如 $frac{A}{(x-a)^k}$，其中 $a$ 是 $Q(x)$ 的根，$k$ 是 $Q(x)$ 在 $a$ 处的重数，$A$ 是一个常数。例如，对于分式 $frac{x^3-8}{x^2-4}$，可以因式分解为 $frac{x^3-8}{x^2-4}=frac{x-2}{x-2}+frac{x^2+2x+4}{x+2}=(x-2)+frac{x^2+2x+4}{x+2}$。
为：任何一个有理分式都可以唯一地写成几个既约分式的和的形式。因为有理分式可以表示为多项式的商，而多项式可以通过因式分解得到既约多项式，进而可以将有理分式写成几个既约分式的和的形式。在实际的数学计算中，将复杂的分式通过因式分解可以简化运算，尤其是在解析几何、微积分等高等数学中，因式分解是重要的解题技巧之一。同时，因式分解也是初中数学的基础知识，需要掌握好。
分式因式分解就是分子、分母分开来分别按照单独整式进行分解。分解方法有提公因式（含公因数）法，公式法。一般是先提取公因式，提公因式后还能分解的，还要继续分解。
如果没有公因式的，就看怎么用公式来分解，能用平方差公式用平方差公式，不能用平方差的，能否用完全平方公式，有时候还要经过变形的就先变形，然后再用公式。都分解了然后再约分。
