椭圆的切平面方程怎么求

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问题描述:

椭圆的切平面方程怎么求

推荐答案

2023-10-23 15:22:41

利用隐函数求导,令F=x平方+2y平方+3z平方-21,分别求F对x,y,z的一阶偏导数,得到的就是切平面的法向量。

这个是公式:

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1,上点(x0,y0,z0)处的切平面方程为:

x0x/a²+y0y/b²+z0z/c²=1

推导过程:

令F(x,y,z)=x²/a²+y²/b²+z²/c²-1

Fx=2x/a²,Fy=2y/b²,Fz=2z/c²

n=(x0/a²,y0/b²,z0/c²)

切平面方程为

x0/a²(x-x0)+y0/b²(y-y0)+z0/c²(z-z0)=0

化简即得。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:

方法①:先把隐函数转化成显函数,再利用显函数求导的方法求导;

方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);

方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导,再通过移项求得的值;

方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子,若欲求z = f(x,y)的导数,那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式,然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解

其他答案

2023-10-23 15:22:41

椭圆的切平面方程可以通过以下步骤求得:

1. 设椭圆的方程为:

2. 设椭圆上一点为 P(x,y),切点为 Q(x0,y0)。

3. 求出向量 PQ 的坐标:

4. 求出向量 PQ 的法向量:

5. 求出椭圆在点 Q 处的切线方程:

6. 将步骤 3 和步骤 5 的结果结合起来,得到椭圆在点 Q 处的切平面方程:

需要注意的是,上述方法仅适用于椭圆的切点在椭圆的长轴或短轴上时的情况。当椭圆的切点不在长轴或短轴上时,需要先通过椭圆的方程求出椭圆的参数,然后再根据切点的坐标求出切平面方程。

其他答案

2023-10-23 15:22:41

椭圆的切平面方程计算方法:

设切点为 (a,b,c),则切面方程为 ax+2by+cz=1 ,由于切面与已知平面平行,因此 a/1=2b/(-1)=c/2 ,另有 a^2+2b^2+c^2=1 ,解得 a= -√22/11 ,b=√22/22 ,c= -2√22/11 或 a= √22/11 ,b= -√22/22 ,c= 2√22/11 ,所以,所求切平面方程为 √22x-√22y+2√22z=11 或 √22x-√22y+2√22z= -11 。

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