弦上传播横波的波动方程可以通过牛顿的第二定律和弦的弹性性质推导而来。
以下是推导的基本步骤：
假设有一根质量均匀分布的细弦，我们将考虑沿弦的横向振动。
1. 定义一些符号：
- (T)：绳子的张力（牛顿）。
- (mu)：单位长度内的绳子质量（千克/米）。
- (y(x, t))：绳子在位置 (x) 处的位移，随时间 (t) 变化。
- (F_{
ext{net}})：绳子上在 (x) 处的净受力。
2. 考虑弦段 (Delta x) 上的受力：这个弦段的质量为 (Delta x cdot mu)，受到两端张力 (T) 的作用，因此沿 (x) 方向的合力为 (T sin(
heta_1) - T sin(
heta_2))，其中 (
heta_1) 和 (
heta_2) 是弦段两端的斜率。
3. 使用小角度近似（(sin(
heta) approx
an(
heta) approx frac{partial y}{partial x})），可以得到在弦段 (Delta x) 上的合力表达式：
[F_{
ext{net}} = T left(frac{partial y}{partial x}Big|_{x+Delta x} - frac{partial y}{partial x}Big|_{x}
ight)]
4. 根据牛顿的第二定律 (F = ma)，考虑沿 (x) 方向的加速度 (a)，可以得到弦上的波动方程：
[F_{
ext{net}} = (Delta x cdot mu) cdot frac{partial^2 y}{partial t^2}]
5. 将上述两个方程合并，得到弦的波动方程：
[T left(frac{partial y}{partial x}Big|_{x+Delta x} - frac{partial y}{partial x}Big|_{x}
ight) = (Delta x cdot mu) cdot frac{partial^2 y}{partial t^2}]
6. 当 (Delta x) 趋向于零时，可以将上述方程写成微分形式：
[T frac{partial^2 y}{partial x^2} = mu frac{partial^2 y}{partial t^2}]
这就是描述弦上横波传播的波动方程，其中 (frac{partial^2 y}{partial x^2}) 表示空间上的弯曲，(frac{partial^2 y}{partial t^2}) 表示时间上的加速度，它们之间通过张力 (T) 和线密度 (mu) 相关联。这个方程可以用来研究弦上横波的传播和性质。
