复数的本质是负数开根号,比如根号-1=i或者-i它的出现将计算域空间上升了一维,即由实数空间上升到复数空间使得计算的范围扩大。我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。它之所以使解决问题更简单，是因为它的应用:系统分析
在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。
无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点
位于右半平面，则因果系统不稳定； 都位于左半平面，则因果系统稳定； 位于虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。
信号分析
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：
其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。
电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）
反常积分
在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。
量子力学
量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。
相对论
如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。
应用数学
实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t) =e的基函数的线性组合表示。
流体力学
复函数于流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow）。
碎形
一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Julia set) 是建基于复平面上的点的。
实变初等函数
我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0）时与相应的实变初等函数相同。
注意根据这些定义，在z为任意复变数时，
①．哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来
②．哪些相应的实变初等函数的性质不再成立
③．出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。
复变指数函数
ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)
复数的三角函数
证明：把yi代入泰勒级数，借助
和来化简即可；
同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna
借助eix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理
